Równanie Diraca
równanie relatywistycznej mechaniki kwantowej / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Równanie Diraca?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Równanie Diraca – jedno z fundamentalnych równań w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku[1], słuszne dla cząstek o dowolnie wielkich energiach (tzw. cząstek relatywistycznych) o spinie 1/2 (fermiony, np. elektrony, kwarki), swobodnych i oddziałujących z polem elektromagnetycznym. Istnienie spinu wynika z samego żądania relatywistycznej niezmienniczości równania ruchu cząstek. Odpowiada równaniu Pauliego, które także zawiera spin cząstek, ale wprowadza go w sposób fenomenologiczny, niejako sztuczny, a jedynie dlatego, by otrzymać zgodność z doświadczeniem Sterna-Gerlacha (rozszerzając formalizm nierelatywistycznego równania Schrödingera).
Równanie Diraca jest równaniem macierzowym – de facto stanowi ono układ 4 równań ze względu na fakt, iż symbole gamma (lub alfa, beta), występujące w tym równaniu, są macierzami
Równania Diraca zapisuje się w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej lub w tzw. obrazie Schrödingera. Ta ostatnia postać została najpierw wyprowadzona przez Diraca i jest stosowana ze względu na wygodę do wykonywania obliczeń, gdyż odróżnia współrzędne przestrzenne od współrzędnej czasowej.
Równanie Diraca zostało potwierdzone w odniesieniu do struktury subtelnej widma atomu wodoru, wykazując znakomitą zgodność z pomiarami. Przewiduje istnienie antycząstek. Niektóre jednak efekty, takie jak kreacja i anihilacja cząstek czy przesunięcie Lamba tłumaczy dopiero elektrodynamika kwantowa.
Macierze gamma to macierze zespolone spełniające 16 reguł antykomutacyjnych w postaci
gdzie:
- – tzw. antykomutator,
- – elementy tensora metrycznego czasoprzestrzeni np. itd.,
- – macierz jednostkowa
Powyższa reguła określająca macierze gamma wynika m.in. z wymagania, by spełnione było równanie Kleina-Gordona. Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego-Diraca ma postać:
- są macierzami Pauliego, zaś jest tu macierzą jednostkową
Znaczenie jawnie niezmienniczej postaci
Równania Diraca zapisane w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej to taka postać równania Diraca, która formalnie nie odróżnia czasu od współrzędnych przestrzennych, ale: (1) traktuje czas i współrzędne przestrzenne położenia jako współrzędne czterowektora położenia cząstki w czasoprzestrzeni (2) nie wyróżnia pochodnej po czasie w stosunku do pochodnych po współrzędnych przestrzennych (pochodna po czasie jest elementem czterogradientu, którego pozostałymi trzema elementami są pochodne po współrzędnych przestrzennych). Równanie tak zapisane ma identyczną postać w dowolnym układzie inercjalnym (z jedyną zmianą, że zamiast współrzędnych pojawią się współrzędne właściwe dla innego układu).
Równanie cząstki swobodnej
W zapisie jawnie relatywistycznie niezmienniczym równanie Diraca dla cząstki swobodnej ma postać
gdzie:
- – współrzędne punktu w czasoprzestrzeni,
- – element czterogradientu
- – macierze gamma Diraca, tj.
- – masa cząstki (tzw. masa spoczynkowa),
- – funkcja falowa o 4 składowych zespolonych, tzw. bispinor Diraca,
- – jednostka urojona,
- – stała Plancka podzielona przez
- – prędkość światła.
Równanie cząstki oddziałującej z polem elektromagnetycznym
Jeżeli cząstka nie jest swobodna, ale oddziałuje z zewnętrznym polem elektromagnetycznym, to równanie Diraca przyjmuje postać
gdzie:
- – ładunek cząstki,
- – potencjał wektorowy pola zapisany jako czterowektor kowariantny.
Formalnie równanie to można otrzymać z równania Diraca cząstki swobodnej dokonując podstawienia (tzw. reguły Jordana)
Funkcja falowa zwana bispinorem Diraca, jest funkcją o 4 składowych zespolonych; zapisuje się ją w postaci kolumny
przy czym oznacza położenie cząstki w czasoprzestrzeni. Nazwa bi-spinor oznacza podwójny spinor. Spinor występuje w równaniu Pauliego, gdzie jest funkcją falową o 2 składnikach, opisujących 2 składowe spinowe (w równaniu Schrödingera funkcja falowa jest 1-składnikowa).
Interpretacja składowych bispinora
Jeżeli pęd jest skierowany w kierunku osi z, to dwie górne składowe bispinora są funkcjami falowymi cząstki:
- jedna z nich opisuje składową spinu w kierunku zgodnym z wektorem zewnętrznego pola magnetycznego,
- druga w kierunku przeciwnym.
Dwie dolne składowe odpowiadają analogicznym stanom spinowym antycząstki.
Dla innego skierowania pędu interpretacja taka nie jest jednak właściwa[2].
Bispinor hermitowsko sprzężony
Definiuje się bispinor hermitowsko sprzężony do bispinora – przedstawia on wektor w postaci wiesza, którego elementami są sprzężenia zespolone składowych bispinora (przy czym oznacza sprzężenie hermitowskie)
Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca
Gęstość prawdopodobieństwa definiuje się analogicznie jak w teorii Schrödingera
W definicji gęstości prawdopodobieństwa dla równania Diraca istotna jest kolejność czynników: musi być przed gdyż występuje tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny, i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażeniu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).
Wykonując obliczenia otrzymamy
Wielkość oznacza, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki materii w położeniu jest sumą prawdopodobieństw znalezienia jej w postaci cząstki w stanach spinowych w górę lub w dół, lub w postaci antycząstki w stanach spinowych w górę lub w dół.
Trzeci rodzaj bispinora – bispinor
Prócz bispinorów oraz definiuje się bispinor w postaci
Powyższy bispinor jest używany do wyrażenia prądów prawdopodobieństwa, odpowiadających relatywistycznie niezmienniczej postaci równania Diraca.
Obraz Schrödingera
Równanie Schrödingera ma postać
gdzie:
jest operatorem Hamiltona zależnym tylko od współrzędnych przestrzennych, zaś po prawej stronie równania występuje pochodna cząstkowa po czasie.
Dowolne równanie mechaniki kwantowej można zapisać w analogicznej postaci, tj. takiej że z jednej strony równania mamy operator Hamiltona, a z drugiej operator pochodnej czasowej. Taki zapis nazywa się obrazem Schrödingera (lub postacią Schrödingera).
Równanie Diraca w obrazie Schrödingera
Równanie Diraca można przekształcić do postaci w obrazie Schrödingera, wprowadzając macierze alfa i beta
Mnożąc obustronnie równanie Diraca podane w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej przez macierz otrzymuje się równanie
gdzie:
- – prędkość światła,
- – wektor utworzony z macierzy alfa,
- – wektorowy operator pędu,
- – masa cząstki,
- – czteroskładnikowa funkcja falowa Diraca.
Operator
jest więc operatorem Hamiltona swobodnego, relatywistycznego fermionu o spinie 1/2, analogicznym do operatora Hamiltona cząstki swobodnej w równaniu Schrödingera. W równaniu Diraca operator Hamiltona ma postać operatora macierzowego podczas gdy w równaniu Schrödingera wyraża się przez pojedynczy operator
Równanie Diraca zapisane w obrazie Schrödingera nie jest jawnie relatywistycznie niezmiennicze, gdyż współrzędna czasowa jest tu wyróżniona. Zapis taki jest jednak wygodny do wykonywania obliczeń w konkretnym układzie odniesienia.
Gdy cząstka jest swobodna, to funkcja falowa nie powinna zależeć od współrzędnych, czyli co formalnie oznacza, że i równanie Diraca przyjmuje postać[3]
Rozwiązania tego równania mają postać
Pierwsze odpowiada cząstce (np. elektronowi) o energii drugie antycząstce (np. pozytonowi) także o energii [3].
Jeżeli cząstka ma ładunek i oddziałuje z polem elektromagnetycznym o potencjale skalarnym i potencjale wektorowym to operator Hamiltona w równaniu Diraca, zapisanym w obrazie Schrödingera, otrzymuje się, stosując podstawiania (tzw. reguły Jordana)
Operator Hamiltona przyjmuje postać
Pole traktuje się tu jako klasyczne pole Maxwella, tj. nie poddane tzw. procesowi drugiego kwantowania. Oznacza to, że nie uwzględnia się tu faktu, iż pole elektromagnetyczne występuje de facto w postaci kwantów energii, fotonów. Pominięcie tego jest uzasadnione wtedy, gdy pole ma dużą energię wobec energii cząstki.