Rozmaitość różniczkowa
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem rozmaitość różniczkowalna (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy co najmniej tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowych – skalarnych, wektorowych itd.
Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem.
Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ).
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny tensor metryczny).