System formalny
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
System formalny – język formuł (logiki) wraz ze zbiorem reguł wyprowadzania (wywodu) i zwykle zbiorem aksjomatów. Systemy formalne są tworzone i badane zarówno jako samodzielne abstrakcyjne twory, jak i systemy opisu rzeczywistości.
W matematyce formalnie dowody twierdzeń konstruuje się w systemach formalnych zawierających aksjomaty oraz reguły dedukcji (wyprowadzania). Twierdzenia są wtedy „ostatnimi liniami” takich dowodów. Zbiór aksjomatów i wszystkich możliwych twierdzeń nazywa się domknięciem zbioru aksjomatów ze względu na wyprowadzanie. Takie podejście do matematyki nazywane jest formalizmem matematycznym. David Hilbert nazwał metamatematyką naukę badającą systemy formalne.
System formalny w matematyce zawiera następujące elementy:
- Skończony zbiór symboli, z którego konstruowane są formuły.
- Gramatykę opisującą jakie formuły są poprawnie skonstruowane i pozwalającą zweryfikować poprawność dowolnej formuły.
- Zbiór aksjomatów, będących poprawnie skonstruowanymi formułami.
- Zbiór reguł wyprowadzania.
- Zbiór twierdzeń zawierający wszystkie aksjomaty oraz wszystkie poprawnie skonstruowane formuły, które da się wyprowadzić z aksjomatów za pomocą reguł wyprowadzania.
Należy pamiętać, że nawet jeżeli dana formuła jest poprawną formułą systemu, to nie oznacza to, że istnieje procedura decyzyjna określająca, czy jest ona twierdzeniem.