For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Ultraprodukt.

Ultraprodukt

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Ultraprodukt – sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego).

Uwagi historyczne

Niektórzy matematycy twierdzą, że już dowód Kurta Gödla twierdzenia o zupełności rachunku kwantyfikatorów (logiki pierwszego rzędu) z 1930 roku[1] można zinterpretować jako konstrukcję ultrapotęgi[2]. Również konstrukcje rozważane przez Edwina Hewitta w 1948[3] w związku z ciałami rzeczywiście domkniętymi są uznawane za prekursorów ultraproduktów.

Pierwsza systematyczna i ogólna prezentacja ultraproduktów jako narzędzia w teorii modeli była dana przez polskiego matematyka Jerzego Łosia w roku 1955[4].

Definicja

Niech będzie alfabetem języka pierwszego rzędu, czyli zbiorem symboli funkcyjnych i predykatów (symboli relacyjnych). Interpretację symbolu relacyjnego w modelu będziemy oznaczać przez (tak więc jest relacją -arną na uniwersum modelu gdzie jest arnością symbolu relacyjnego ). Podobnie, jeśli jest -argumentowym symbolem funkcyjnym, to jego interpretacja w modelu będzie oznaczana przez (tak więc, jest funkcją z w ). Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu wyznaczonego przez alfabet

Załóżmy, że jest zbiorem nieskończonym oraz jest filtrem podzbiorów Przypuśćmy też, że dla każdego ustaliliśmy model z uniwersum

Definiujemy produkt zredukowany

rodziny modeli w sposób następujący.

(a) Na produkcie kartezjańskim
określamy relację dwuczłonową warunkiem
wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz)
Relacja jest relacją równoważności. Niech będzie zbiorem klas abstrakcji relacji
(b) Jeśli jest -arnym symbolem relacyjnym, to określamy jego interpretację następująco:
wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz)
Należy zauważyć, że jeśli są takie, że (dla ), to
Stąd wynika, że powyższa definicja relacji jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.
(c) Jeśli jest -arnym symbolem funkcyjnym, to określamy jego interpretację następująco:
przypuśćmy, że Połóżmy dla (tak więc ). Określamy
Tak jak wcześniej, zauważamy, że jeśli są takie, że (dla ), to
a więc powyższa definicja funkcji jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

Produkt zredukowany

to model z uniwersum w którym interpretacje symboli z alfabetu dane są przez opis w (b) i (c).

Jeśli jest ultrafiltrem (tzn. maksymalnym filtrem właściwym), to model

jest nazywany ultraproduktem rodziny modeli

Jeśli jest ultrafiltrem oraz dla wszystkich (czyli wszystkie modele są identyczne), to model

jest nazywany ultrapotęgą modelu . W przypadku ultrapotęg modeli, często używamy notacji zamiast

Przykładowe wyniki i zastosowania

  • Twierdzenie Łosia:
Przypuśćmy, że jest alfabetem języka pierwszego rzędu, jest ultrafiltrem na zbiorze jest modelem języka (dla ) oraz jest formułą języka której zmienne wolne zawarte są wśród Niech Wówczas
wtedy i tylko wtedy, gdy
  • Założmy, że są jak powyżej, jest modelem języka Dla niech będzie funkcją stałą daną przez (dla ) oraz niech Wówczas funkcja jest zanurzeniem elementarnym modelu w jego ultrapotęgę tzn. jest funkcją różnowartościową oraz
wtedy i tylko wtedy, gdy
W szczególności, ultrapotęga jest elementarnie równoważna z (tzn. te same zdania są spełnione w jednym modelu co i w drugim).
  • Z twierdzenia Łosia łatwo wnioskujemy, że:
  • Ultraprodukt nieskończonych dobrych porządków jest dobrym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy użyty ultrafiltr jest σ-zupełny. (Przypomnijmy, że istnienie niegłównych σ-zupełnych ultrafiltrów na zbiorze nieskończonym jest równoważne z istnieniem liczby mierzalnej.)
  • Ultrapotęgi uniwersum teorii mnogości V przy użyciu zupełnych ultrafiltrów są używane w badaniach dużych liczb kardynalnych. Ultrapotęgi są też używane do konstrukcji niestandardowych modeli arytmetyki Peana (PA) czy też modeli analizy niestandardowej[5]. W tym ostatnim kontekście warto zacytować następujący wynik:
  • Twierdzenie Rabina-Keslera[6][7]: Niech będzie przeliczalnym alfabetem. Załóżmy, że κ jest liczbą kardynalną, na której nie istnieją ultrafiltry σ-zupełne. Wówczas
każdy model z uniwersum mocy κ ma właściwe elementarne rozszerzenie do modelu z uniwersum mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy

Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeli

Niech będzie przeliczalnym alfabetem. Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu wyznaczonego przez alfabet .

  • Twierdzenie Keislera o ultrapotęgach[8]: Załóżmy GCH. Niech będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej Wówczas
jest elementarnie równoważny z wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją ultrafiltry na takie że ultrapotęgi i izomorficzne.
  • Twierdzenia Szelacha[9][10]:
    • Niech będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej Wówczas
jest elementarnie równoważny z wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją ultrafiltry na takie że ultrapotęgi i izomorficzne.
W szczególności, dwa modele są elementarnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają izomorficzne ultrapotęgi.
    • Twierdzenia Keislera nie można udowodnić tylko w systemie ZFC, bez założenia GCH, bo następujące zdanie jest niesprzeczne z ZFC:
Istnieją elementarnie równoważne przeliczalne grafy takie, że żadne ich ultrapotęgi nie są izomorficzne.
Warto zauważyć, że dowód powyższego twierdzenia (w którym Shelah skonstruował odpowiednie pojęcie forsingu) okazał się być bardzo stymulujący dla późniejszego rozwoju teorii forsingu i teorii forsingów proper.

Przypisy

  1. Gödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. „Monatshefte f. Math”, 37 (1930), s. 349–360.
  2. Bell, J.L.; Slomson, A.B.: Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London, 1969, s. 259.
  3. Hewitt, E.: Rings of real-valued continuous functions. I. Transactions of the American Mathematical Society 64 (1948), s. 45–99.
  4. Łoś, J.: Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d’algèbres. „Mathematical interpretation of formal systems”, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1955, s. 98–113.
  5. Robinson, A.: Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. ISBN 0-691-04490-2.
  6. Rabin, M.O.: Arithmetical extensions with prescribed cardinality. „Indag. Math.” 21 (1959), s. 439–446.
  7. Keisler, H.J.: Limit ultrapowers. Transactions of the American Mathematical Society 107 (1963), s. 382–408.
  8. Keisler, H.J.: Ultraproducts and elementary classes. „Indag. Math.” 23 (1961), s. 477–495.
  9. Shelah, Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers -- Israel J Math 10 (1971) 224-233.
  10. Shelah, S.: Vive la différence. I. Nonisomorphism of ultrapowers of countable models. [w:] Set theory of the continuum (Berkeley, CA, 1989), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 26. Springer, New York, 1992, s. 357–405.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Ultraprodukt
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on