Uniwersum konstruowalne
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Uniwersum konstruowalne (lub uniwersum Gödla) – klasa zbiorów budowana przy założeniu aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZF), która tworzy model wewnętrzny ZFC. W pewnym sensie klasa ta składa się tylko z tych zbiorów, które muszą istnieć, aby aksjomaty ZF były spełnione i każdy jej element jest opisany/skonstruowany przy użyciu elementów prostszych. Zwykle uniwersum konstruowalne oznacza się przez L, a jego elementy nazywa zbiorami konstruowalnymi.
Konstrukcję L podał austriacki matematyk Kurt Gödel w celu udowodnienia, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH). Sam wynik ogłoszono w 1938, ale pierwszy szkic dowodu (z konstrukcją L) ukazał się w 1939[1]. Rok później Gödel opublikował monografię podającą szczegółowy opis tego modelu[2].
Z uniwersum konstruowalnym związany jest aksjomat konstruowalności. Jest to zdanie orzekające, że każdy zbiór jest konstruowalny (tzn. V=L). Aksjomat konstruowalności jest niezależny od standardowych aksjomatów ZFC (ani tego aksjomatu, ani jego zaprzeczenia nie można udowodnić na gruncie ZFC).
Zagadnieniu uniwersum zbioru konstruowalnych poświęcona jest częściowo monografia Thomasa Jecha[3].