Zbiór typu G-delta
pojęcie topologii / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Zbiór typu G-delta?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Ten artykuł od 2014-05 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu (czyt. „zbiorem typu gie delta”), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu to inaczej zbiory klasy
Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.
Dopełnienie zbioru jest zbiorem Fσ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.
- Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu można go bowiem zapisać jako przekrój
- Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire’a).
- Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji jest typu
Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych).