Однородная мозаика
вершинно транзитивная мозаика на плоскости с правильными многоугольными гранями / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:
Перечислите основные факты и статистические данные о Однородная мозаика?
Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка
Однородная мозаика — вершинно транзитивная мозаика на плоскости с правильными многоугольными гранями.
Однородная мозаика может существовать как на евклидовой плоскости, так и на гиперболической плоскости. Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками, которые можно считать однородными замощениями сферы.
Большинство однородных мозаик могут быть получены построением Витхоффа с помощью симметрии, начиная с одной генерирующей точки внутри фундаментальной области. Группа симметрии на плоскости имеет многоугольную фундаментальную область и может быть представлена порядком зеркал в последовательности вершин.
Треугольная фундаментальная область имеет порядки зеркал (p q r), а прямоугольная треугольная область — (p q 2), где p, q, r — целые числа, большие единицы. Треугольник может быть сферическим треугольником, евклидовым треугольником или треугольником на гиперболической плоскости, что зависит от значений p, q и r.
Существует несколько символических схем для именования полученных фигур, начиная с модифицированного символа Шлефли для фундаментальной области в виде прямоугольного треугольника (p q 2) → {p, q}. Диаграмма Коксетера — Дынкина является графом с помеченными значениями p, q, r рёбрами. Если r = 2, граф линеен, поскольку узлы порядка 2 не образуют отражений. Символ Витхоффа[англ.] использует 3 целых числа с разделительной вертикальной чертой между ними (|). Если генерирующая точка не находится на зеркале, символ вершины, противоположной зеркалу, помещается до вертикальной черты.
Наконец, мозаики можно описать с помощью их вершинной конфигурации, т.е. последовательности многоугольников вокруг каждой вершины.
Все однородные мозаики можно построить с помощью различных операций, применённых к правильным мозаикам. Имена этим операциям дал американский математик Норман Джонсон, это truncation (усечение, отрезание вершин), rectification (полное усечение, отрезание вершин до полного исчезновения исходных рёбер) и cantellation (скашивание, срезание рёбер). Omnitruncation (всеусечение[англ.]) — это операция, комбинирующая усечение и скашивание. Snubbing (отрезание носов) — это операция альтернированного усечения всеусечённых форм. (См. Операторы построения Витхоффа для подробного объяснения операций.)