Плотная упаковка равных сфер
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Плотная упаковка равных сфер — такое расположение одинаковых неперекрывающихся сфер в пространстве, при котором занимаемая внутренними областями этих сфер доля пространства (плотность упаковки) максимальна, а также задача комбинаторной геометрии о поиске этой упаковки[1].
Иллюстрация плотной упаковки равных сфер в решётки ГП (ГПУ) (слева) и ГЦК (справа) |
ГЦК-упаковка, рассматриваемая в направлении осей симметрии 4-го порядка |
Отдельный слой плотной упаковки |
Показана укладка одиннадцати шаров ГП (ГПУ) решётки. ГП(ГПУ)-укладка отличается от верхних трёх слоёв ГЦК укладки на рисунке ниже только нижним слоем. Она может быть преобразована в ГЦК-укладку путём вращения или сдвига одного из слоёв. В реальном кристалле большого размера такое тоже может произойти при определённых условиях (это будет фазовый переход). |
Несколько слоёв ГЦК-укладки. Заметьте, как смежные шары вдоль каждого ребра правильного тетраэдра расположены относительно друг друга, и сравните с ГП (ГПУ) упаковкой на рисунке выше. |
Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая плотность упаковки в трёхмерном пространстве, которая может быть достигнута простой регулярной упаковкой, равна
Эта плотность достигается в упаковках в гранецентрированную кубическую (ГЦК) и гексагональную плотноупакованную (ГП, ГПУ[2]) решётки (см. ниже). Гипотеза Кеплера утверждает, что эта упаковка имеет наивысшую плотность среди всех возможных упаковок сфер, регулярных и нерегулярных. Эту гипотезу доказал Т. К. Хейлз[англ.] после многолетнего труда по программированию вычислений, необходимых для доказательства[3][4].