Момент инерције
From Wikipedia, the free encyclopedia
Момент инерције је мера инертности тела при ротационом кретању. Момент инерције је аналоган маси код транслаторног кретања. Појаву инерције први је проучавао Галилео Галилеј. Инерцију описује I Њутнов закон, по коме свако тело задржава стање мировања или равномерног праволинијског кретања док га неко друго тело не присили да то стање промени. Инертност је својство тела да се одупире промени стања мировања или равномерног праволинијског кретања. Тела веће масе су инертнија (тромија). Маса је мера интерности тела.
Момент инерције | |
---|---|
Уобичајени симболи | I |
СИ јединица | kg m² |
Друге јединице | lbf·ft·s2 |
СИ димензија | M L2 |
Деривације из других квантитета |
Момент инерције (знак или ) је једнак збиру умножака масе и квадрата удаљености од осе ротације сваке честице која чини тело:
Момент инерције је заправо мера тромости за вртњу или ротацијско кретање. Може се рећи да је момент инерције ротацијска аналогија масе. Што је момент инерције неког тела већи то га је теже покренути у ротацију или зауставити његову ротацију. Међутим, за разлику од масе, момент инерције није нека непромењива величина; он зависи од осе око које се дешава ротација тела. Математичка дефиниција момента инерције материјалне тачке масе за неку осу је:
где је удаљеност те тачке од осе ротације. Мерна јединица за момент инерције је .
За неко тело састављено од материјалних честица момент инерције за неку осу је једнак збиру момената инерције свих материјалних честица за ту исту осу:
Ово је непрактичан израз за неко континуирано тело за који би требало знати тачан број и положај свих честица. Уместо тога интегрирају се моменти инерције свих диференцијалних маса :
Уз претпоставку да је густина тела ρ по целој запремини једнака, добија се:
Моменти инерције за оси које пролазе кроз тежиште тела називају се властитим моментима инерције. Иако горња математичка формулација вреди потпуно генерално, момент инерције за неку осу која пролази изван тежишта тела се може израчунати помоћу Стајнеровог правила које се може овако срочити:
- Момент инерције тела за неку осу која не пролази кроз тежиште једнак је збиру властитог момента инерције за осу паралелну с траженом осом и умношка масе тела с квадратом удаљености тежишта тела од тражене осе .
Ово је правило врло важно и елементарно. Умножак масе тела и квадрата удаљености тежишта тела од тражене осе се назива положајни момент инерције.
Математички изричај Штајнеровог правила може се записати на следећи начин:
Из свега изложенога треба уочити неколико чињеница битних за разумевање материје:
- Што је нека маса удаљенија од осе ротације, то је теже вршити ротацију.
- Инертност или тромост масе при ротацији расте с квадратом удаљености од осе ротације.
- Материјална тачка нема властитих момената инерције јер нема протежност.
- За довољно компактна тела (на пример мала кугла) у неким случајевима може се апроксимирати да немају властитих момената инерције.
- Момент инерције неког тела не зависи само о његовој маси и удаљености његовог тежишта од осе ротације, већ и од облика.
- Штајнерово правило се примењује без обзира на то да ли оса ротације пролази кроз тело или се налази изван њега, битан је само однос осе према тежишту.