Кубика
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
У математиці, плоска кубічна крива — це алгебраїчна крива С, задана кубічним рівнянням
- F(x, y, z) = 0
Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини. У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні беруть z = 1. Тут F є ненульовою лінійною комбінацією одночленів третього ступеня
- x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.
Таких одночленів десять, тому кубічні криві утворюють проєктивний простір розмірності 9, відносно будь-якого даного поля К. Кожна точка P повинна належить кривій С, тобто задовольняти рівняння F. Таким чином, ми можемо знайти кубічну криву, яка проходить через будь-які дев'ять заданих точок. Вона може бути виродженою, і може бути не єдиною, але якщо точки знаходяться в загальному положенні, то крива буде унікальною і невиродженою. Це так само, як і те, що дві точки визначають пряму або п'ять точок визначають коніку[en]. Якщо дві криві проходять через задану множину точок, то вони задають сімейство кубічних кривих, а точки мають додаткові властивості; див. теорему Келі-Бакараха[en].
Кубічна крива може мати сингулярну точку, в цьому випадку вона має параметризацію для проєктивної прямої. У випадку несингулярний кубічної кривої, у неї існує дев'ять точок перегину, над алгебраїчно замкнутим полем, такими як комплексні числа. Це можна показати, якщо взяти однорідну версію матриці Гессе, яка визначає іншу кубічну криву, і перетнути її з C; точки перетину потім підраховують по теоремі Безу. Проте тільки три з цих точок можуть бути дійсними, тому що інші не можуть розглядатися в дійсній проєктивній площині. Дев'ять точок перегину несингулярної кубічної кривої мають властивість, що кожна лінія, що проходить через дві з них містить рівно три точки перегину.
Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, нічим не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсних точок перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точку перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.
Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем К, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.
Сингулярні точки нескоротної плоскої кубічної кривої достатньо обмежені: одна подвійна точка, або один злам. Скоротна плоска кубічна крива це або конічний переріз та пряма, або три прямих, і, відповідно, мають дві подвійні точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі), у випадку трьох прямих.