Нерівність Єнсена
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]
Враховуючи свою загальність, нерівність проявляється у багатьох формах залежно від контексту, деякі з яких представлені нижче. У найпростішому випадку нерівність стверджує, що значення опуклого перетворення є меншим або дорівнює значенню отриманого після опуклого перетворення; це простий наслідок того, що обернене твердження вірне щодо перетворень увігнутих функцій.
Нерівність Єнсена узагальнює твердження, що січна опуклої функції лежить над графіком функції (нерівність Єнсена для двох точок): січна лінія утворюється ваговими середніми значеннями опуклої функції (для ),
у той час як графік функції є опуклою функцією зважених середніх значень
Отже, нерівність Єнсена має вигляд
У контексті теорії ймовірності нерівність як правило подається у наступному вигляді: якщо — випадкова величина, а — опукла функція, то
Різниця між двома частинами нерівності,
називається проміжком Єнсена [2].