可解群
維基百科,自由的 encyclopedia
在數學的歷史中,群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋,最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式(平方根、立方根等等及其和與積)表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質。
事实速览 群论, 基本概念 ...
群论 | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||
群 | ||||||||||
| ||||||||||
关闭
一個群被稱為可解的,若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說,若其降正規列
之中,每一個子群都會是前一個的导群,且最後一個為G的平凡子群{1}。上述兩個定義是等價的,对一個群H及H的正規子群N,其商群H/N為可交換的若且唯若N包含著H(1)。
對於有限群,有一個等價的定義為:一可解群為一有著其商群皆為質數階的循環群之合成列的群。此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質數階的循環群。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質,則其循環群即會對應到某個體上的n個根。但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立:例如,因為每一個在加法下的整數群Z的非當然子群皆同構於Z本身,它不會有合成列,但是其有著唯一同構於Z的商群之正規列{0,Z},證明了其確實是可解的。
和喬治·波里亞的格言「若有一個你無法算出的問題,則會有的你可以算出的較簡單的問題」相一致的,可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構-阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。