四元玉鉴
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《四元玉鑑》是中国元朝数学家朱世傑的代表作,成书于大德七年(1303年)。书中主要讲述了多元(一元至四元)高次方程组的建立和化为一元高次方程(最高达14次)的消元法。建立四元高次方程及根据逐次消元法将多元高次方程化为一元高次方程的方法称为四元术。
四元术中根据题目设立四个未知数(天元,地元,人元,物元),和一组四个多元高次非线性方程组。然后从这些方程组中消去一个未知数,得到三个未知数的高次多项式方程组;接着从这三个三元高次方程组中消去第二个未知数,得到两个含两个未知数的高元多项式方程组;下一步从两个二元高次方程组中再消去一个未知数,最后得到只含一个未知数的的高次方程式。
建立方程以及求解方程的机械化方法,是中国传统数学的核心。张苍《九章算术》阐明了解多元线性方程的消元法(即后来高斯重新发现的高斯消元法)。宋朝秦九韶《数学九章》的玲珑开发法解决了一元高次多项式方程的求根问题。朱世傑将张苍消元法推广到多元非线性多项式方程组,将其化为一元高次多项式方程,正可以秦九韶的玲珑开方法求解。在建立方程方面,朱世傑将天元术,推广到多元变数。《四元玉鑑》融汇了张苍消元法,秦九韶玲珑开方法和天元术成就,是中国传统数学的集大成者,将中国传统数学的机械化算法推进到一个高峰。
《四元玉鑑》承前启后,继往开来,其多元多项式方程组的消元法,成为吴文俊院士的特征列数学机械化的基础之一的吴消元法[1]。
此外,《四元玉鑑》还讲述了关于垛积术(三角垛、三角撒星垛、四角垛、圆锥垛、刍童垛、刍甍垛等高阶等差级数的求和问题和反问题)与招差术。
《四元玉鑑》分卷首、上卷、中卷、下卷,24门,收录288问,包括天元术232问,二元术36问,三元术13问,四元术7问[2]。卷首四问是例题,有草(解题步骤),其他284问只有术而没有草。1837年,清代数学家罗士琳补草,刊行《四元玉鑑细草》三卷。