希尔伯特矩阵維基百科,自由的 encyclopedia 在线性代数中,希尔伯特矩阵是一种系数都是單位分數的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是: H i j = 1 i + j − 1 . {\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.} 此條目已列出參考文獻,但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。 (2015年3月26日) 举例来说, 5 × 5 {\displaystyle 5\times 5} 的希尔伯特矩阵就是: H 5 = [ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 ] . {\displaystyle H_{5}={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.} 希尔伯特矩阵的系数也可以看作是以下积分: H i j = ∫ 0 1 x i + j − 2 d x , {\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,} 也就是当向量是关于变量x 的各阶幂时关于积分范数 L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} 的格拉姆矩阵。 希尔伯特矩阵是低条件矩阵的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说,当范数为 l 2 {\displaystyle l^{2}} 矩阵范数时希尔伯特矩阵的条件数大约是 4.8 × 10 5 {\displaystyle 4.8\times 10^{5}} ,远大于1。
在线性代数中,希尔伯特矩阵是一种系数都是單位分數的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是: H i j = 1 i + j − 1 . {\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.} 此條目已列出參考文獻,但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。 (2015年3月26日) 举例来说, 5 × 5 {\displaystyle 5\times 5} 的希尔伯特矩阵就是: H 5 = [ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 ] . {\displaystyle H_{5}={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.} 希尔伯特矩阵的系数也可以看作是以下积分: H i j = ∫ 0 1 x i + j − 2 d x , {\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,} 也就是当向量是关于变量x 的各阶幂时关于积分范数 L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} 的格拉姆矩阵。 希尔伯特矩阵是低条件矩阵的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说,当范数为 l 2 {\displaystyle l^{2}} 矩阵范数时希尔伯特矩阵的条件数大约是 4.8 × 10 5 {\displaystyle 4.8\times 10^{5}} ,远大于1。