勾股定理
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勾股定理(英語:Pythagorean theorem / Pythagoras' theorem)是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(较短直角边古称勾长、较长直角边古称股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。
此定理又稱毕氏定理、商高定理、畢達哥拉斯定理、新娘座椅定理或百牛定理。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘數學家畢達哥拉斯,但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過,現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。日本除了翻譯西方的「畢達哥拉斯之定理」外亦有「三平方之定理」的稱呼。
早在有明文描述此定理前,古埃及在公元前1600年的纸莎草記載有这一组勾股数,而古巴比伦泥板紀錄的最大的一个勾股数组是。由於古代沒有如此高的精確測量工具,因此一般相信得到如此巨大的勾股數必須知道畢氏定理。
現在畢氏定理可考的嚴謹數學證明,起源於略晚於畢德格拉斯的歐幾里得幾何原本中,卷一命題47。但奇怪的是,這個定理從未被叫做「歐幾里得定理」。
《周髀算經》中,用商高與周公對談的方式,提出這組勾股數为例,解释了勾股定理要素[1],论证「弦长平方必定是两直角边的平方和」,确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则,周髀算經沒有給出證明[2]。且周髀算經成書年份不明,可能是公元前一千多年(比畢達哥拉斯早五百年),但也可能是西漢年代(比畢達格拉斯晚500年)。另外,除了周髀算經以外再無其他典籍紀載商高,無法得知是否真有商高其人,或者周髀算經作者虛構人物。
有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理,但驴桥定理是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理[3]。
勾股定理有四百多個證明,如微分證明,面積證明等。