玻尔兹曼分布
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在統計力學和數學中,波茲曼分布(英語:Boltzmann distribution),或稱吉布斯分布(英語:Gibbs distribution)[1],是一種機率分布或機率測度,它給出一個系統處於某種狀態的機率,是該狀態的能量及溫度的函數。該分布以下列形式表示:
其中pi是系統處於狀態i的機率,εi是該狀態的能量,kT為波茲曼常数k和熱力學溫度T的乘积。符號表示比例(比例常數見§ 分布形式)
這裡的「系統」一詞具有非常廣泛的涵義;它適用的範圍可以從「足夠數量」的原子集合(但不是單個原子)到一個宏觀系統,例如天然气储罐。因此,波茲曼分布可以解決非常廣泛且多樣的問題。該分布表明,能量較低的狀態總是有較高的機率被佔用。
兩種狀態的機率比稱為波茲曼因子,其特徵在於其僅取決於兩狀態之能量差:
波茲曼分布以路德維希·波茲曼的名字命名,他於1868年研究熱平衡中氣體的統計力學時首次提出了這一分布。[2]波茲曼的統計力學成果證明於他的論文“論熱力學第二定律與熱平衡狀態的機率之間的關係”[3]該分布後來被喬賽亞·威拉德·吉布斯(Josiah Willard Gibbs)以現代通用的形式進行了廣泛的研究。[4]
廣義波茲曼分布是熵的統計力學定義(吉布斯熵公式)和熵的熱力學定義(,以及熱力學基本關係)等價的充分必要條件。[5]
不應將波茲曼分布与馬克士威-波茲曼分布或馬克士威-波茲曼統計混淆。波茲曼分布給出了系統處於某一狀態的機率,作為該狀態的能量的函數,[6]而馬克士威-波茲曼分布給出了理想氣體中的粒子速度或能量的機率。