在黎曼几何中,数量曲率(Scalar curvature)或里奇数量(Ricci scalar)是一个黎曼流形最简单的曲率不变量。对黎曼流形的每一点,数量曲率是由该点附近的内蕴几何确定的一个实数。
在 2 维数量曲率完全确定了黎曼流形的曲率;当维数 ≥ 3,曲率比数量曲率含有更多的信息。参见黎曼流形的曲率中完整的讨论。
数量曲率一般记为 S(其它记法有 Sc, R),定义为关于度量的里奇曲率张量的迹:
这个迹和度量相关,因为里奇张量是一个 (0,2) 型张量;必须将指标上升得到一个 (1,1) 型张量才能取迹。在局部坐标中我们可以写成
这里
给了一个坐标系与一个度量张量,数量曲率可以表示为:
这里 是度量的克里斯托费尔符号。
不像黎曼曲率张量或里奇张量可以对任何仿射联络自然地定义,数量曲率只在黎曼几何存在;其定义与度量密不可分。