Corps de Levi-Civita
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Le corps de Levi-Civita est une structure algébrique nommée d'après le mathématicien italien Tullio Levi-Civita[1]. On le note en général .
Le corps de Levi-Civita est un corps totalement ordonné non archimédien ; on peut donc le voir comme un ensemble de nombres contenant des valeurs infiniment grandes et infiniment petites.
Chaque élément a de ce corps peut être représenté comme une série formelle de la forme :
où Q est l'ensemble des nombres rationnels, les coefficients aq sont des nombres réels, et ε s'interprète comme une unité infinitésimale positive.
Cependant il faut également que, pour tout rationnel r, seules un nombre fini de valeurs de q inférieures à r aient un coefficient aq non nul. Cela permet notamment de définir sans ambiguïté la multiplication et la division.
Deux séries sont égales si tous leurs coefficients sont égaux. Les nombres réels apparaissent comme un sous-corps du corps de Levi-Civita si on identifie un nombre réel x à la série où tous les coefficients à l'exception de a0 sont nuls et a0 = x. La relation d'ordre est définie selon l'ordre lexicographique de la liste des coefficients, ce qui revient bien à considérer ε comme une valeur infinitésimale puisque pour tout réel r positif, on a, 0 < ε < r.