Sous-algèbre de Cartan
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En mathématiques, une sous-algèbre de Cartan, est une sous-algèbre nilpotente d'une algèbre de Lie qui est son propre normalisateur (si pour tous , alors ). Elles ont été introduits par Élie Cartan dans sa thèse de doctorat. Elle contrôle la théorie des représentations d'une algèbre de Lie semi-simple sur un corps de caractéristique .
Dans une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro (par exemple ), la donnée d'une sous-algèbre de Cartan est la même chose qu'une sous-algèbre abélienne maximale constituée d'éléments x tels que l'endomorphisme adjoint est semi-simple (c'est-à-dire diagonalisable). Parfois, cette caractérisation donne la définition d'une sous-algèbre de Cartan[1] page 231. En général, une sous-algèbre est appelée torale si elle est constituée d'éléments semi-simples. Sur un corps algébriquement clos, une sous-algèbre torale est abélienne. Ainsi, sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, une sous-algèbre de Cartan peut également être définie comme une sous-algèbre torale maximale.
Les algèbres de Kac–Moody et les algèbres de Kac–Moody généralisées ont également des sous-algèbres qui jouent un rôle analogue aux sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie semi-simples (sur un corps de caractéristique zéro).