Théorème de Borel-Lebesgue
théorème de caractérisation de la compacité / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En topologie de ℝn, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes[1] d'un ensemble A de vecteurs :
- A est fermé et borné (A est borné s'il existe un réel positif majorant la norme de tous les éléments de A) ;
- A est compact, c'est-à-dire[2] qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de A par des ouverts de ℝn on peut extraire un sous-recouvrement fini.
L'essentiel du théorème est :
car la réciproque est immédiate[3].
Ce théorème se généralise à tout ℝ-espace vectoriel normé de dimension finie mais n'est pas valable en dimension infinie.