Théorème de la boule chevelue
théorème de topologie différentielle / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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Ne doit pas être confondu avec Théorème de calvitie.
En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface. Il affirme que la fonction associant à chaque point de la sphère le vecteur admet au moins un point de discontinuité, ce qui revient à dire que la coiffure contient un épi, ou qu'il y a des cheveux nuls, c'est-à-dire de la calvitie.
De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point.
Ce théorème est démontré pour la première fois par Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912[1]. Cette approche généralise des résultats démontrés par le passé comme le théorème de Jordan[2] ou les travaux de Leopold Kronecker sur les fonctions continûment différentiables de la sphère réelle de dimension n – 1 dans un espace vectoriel de dimension n[3].
Ces résultats, qui intuitivement se comprennent aisément, imposent, pour une démonstration rigoureuse, des développements parfois techniques. Un exemple archétypal de résultat de même nature est le théorème du point fixe de Brouwer. Il énonce que toute application continue d'une boule fermée d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie dans elle-même admet un point fixe. Le théorème de point fixe de Brouwer peut être déduit du théorème de la boule chevelue.