0.999...
פיתוח עשרוני אינסופי, השווה ל-1 / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, הסימון 0.999... מציין את הפיתוח העשרוני האינסופי, שבו כל הספרות שאחרי הנקודה העשרונית הן 9. על-פי ההגדרה המקובלת לפיתוח העשרוני, המספר שווה ל־1. השוויון 0.999…=1 אינו ייחודי; כל מספר ממשי בעל שבר עשרוני סופי אפשר לייצג גם באמצעות שבר עשרוני המסתיים בסדרה אינסופית של תשיעיות. כך למשל, המספר 13.412 ניתן לייצוג גם בתור המספר 13.411999…. תכונה זו בעצמה אינה ייחודית לכתיב העשרוני: לכל בסיס b, אפשר לייצג כל שבר סופי גם בעזרת רצף אינסופי שבו חוזרת הספרה b-1.
אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על המושג "טור מתכנס" מתחום האנליזה המתמטית. ישנם אנשים שאינם מכירים, אינם מבינים או אינם מקבלים רעיונות אלה, מתנגדים לשוויון ומנסים ליצור גישות אלטרנטיביות בהן הוא לא יתקיים. קיימות מערכות מספרים ושיטות כתיבה אחרות בהן לביטוי 0.999… אין משמעות או יש משמעות שונה מ-1, אולם בכל דרך עקבית להציג את המספרים הממשיים באמצעות שברים עשרוניים שוויון זה יתקיים.
העוסקים בחינוך מתמטי מכירים את הקושי שבקבלת השוויון של המספר שבכותרת ל-1. גם בקבוצת הדיון sci.math[1], נערכו דיונים רבים בנושא השוויון, ואלו הביאו בסופו של דבר להכללת הסברים עבורו בקובץ השאלות והתשובות של הקבוצה.
קיימת הוכחה פשוטה לשוויון 0.999... = 1, המבוססת על ההנחות הבאות:
- לשבר עשרוני אינסופי יש ערך מוגדר היטב ויחיד.
- כפל של שבר עשרוני אינסופי בעשר שווה לשבר המתקבל מהזזת הנקודה העשרונית מקום אחד ימינה.
- אפשר לחסר שברים עשרוניים אינסופיים.
שלבי ההוכחה הם:
יהי | |
לכן, | |
ניתן לחסר מ־ את ומתקבל: | |
כלומר, | |
כלומר, | |
ולפיכך: |
מבחינה מתמטית אין עניין מיוחד בשוויון 0.999... = 1. הוא מסקנה מיידית מהגדרת הפיתוח העשרוני של מספר ממשי. אולם השוויון מושך תשומת לב רבה בהוראת המתמטיקה כיוון שהוא מקרה מבחן להבנת מושגים רבים, וביניהם: מספר ממשי, טור, סדרה, גבול, פיתוח עשרוני אינסופי ועוד. אמנם מושגים אלה יסודיים מאוד במתמטיקה המודרנית, אך הם עמוקים וקשים להבנה. בהתאם, בבית הספר הם נלמדים באופן שטחי בלבד, ולמידה מעמיקה שלהם מתבצעת רק במסגרת לימודים אקדמיים במתמטיקה.