リーマン和(リーマンわ、英語: Riemann sum)とは、
実数区間 上で、 なる数列があるとし、
代表点 と数列の有限差分 が
を満たし、
区間 上で定義された実数値連続函数 があるとき、
のことである。
この での極限が、リーマン積分
である[1]。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。
最初にリーマン和を左リーマン和 と右リーマン和 の形で導入したのはオイラーであるが、
それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。
以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。
コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった
[2]
[3]。
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが,Cauchy は定積分をまず定義した後, を定理として導いた.こうした発想の逆転も Cauchy に負う.[4]"
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。
における
の右リーマン和