Funkcja ciągła
rodzaj odwzorowania w matematyce / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Funkcja ciągła?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:
- funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
- funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.
Funkcja, która ma conajmniej jeden punkt nieciagłości nazywana jest nieciagłą[1]. Tzw. funkcja ze skokami po raz pierwszy została nazwana nieciagłą (ang. discontiguous) przez Arbogasta w 1791, który badał geometryczne rozwiązania równań różniczkowych[2].
Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu):
Zbiór staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów Musi ona spełniać pewne warunki.
Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.
Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały dla dowolnych ;} otoczeniami elementu są przedziały dla dowolnych (ciekawe są otoczenia dla ).
Niech będą dane zbiory i zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja
Definicja (topologiczna): Funkcja jest ciągła w punkcie jeśli
symbole i to kwantyfikatory.
Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze Funkcja jest ciągła w zbiorze zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.