Ακολουθία Κωσύ
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά μια Ακολουθία του Κωσύ (γαλλικά: suite de Cauchy, [koʃi], αγγλικά: Cauchy sequence, /ˈkoʊʃi), που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται[1]. Πιο συγκεκριμένα, δίνεται οποιαδήποτε μικρή θετική απόσταση, σχεδόν ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων της ακολουθίας είναι μικρότερη από την δεδομένη απόσταση ο ένας από τον άλλο.
Η χρησιμότητα των ακολούθιων Κωσύ (που είναι γνωστές όλες αυτές οι ακολουθίες να συγκλίνουν σε ένα όριο) έγκειται στο γεγονός ότι σ' ένα πλήρη μετρικό χώρο το κριτήριο σύγκλισης εξαρτάται μόνο από τους όρους της ίδιας της ακολουθίας, αντίθετα με τον ορισμό της σύγκλισης που χρησιμοποιεί την οριακή τιμή, καθώς και τους όρους. Συχνά χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους, τόσο θεωρητικα και εφαρμοσμένα,όπου μια επαναληπτική διαδικασία μπορεί να σχετικά εύκολα να παράγει μια ακολουθία Κωσύ , που αποτελείται από τις επαναλήψεις, εκπληρώνοντας έτσι μια λογική κατάσταση, όπως τερματισμός.
Οι παραπάνω έννοιες δεν είναι τόσο άγνωστες όσο φαίνονται αρχικά. Η συνήθης αποδοχή του γεγονότος ότι κάθε πραγματικός αριθμός x έχει μια δεκαδική επέκταση αποτελεί έμμεση παραδοχή ότι μια συγκεκριμένη ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών (οι όροι της οποίας είναι οι διαδοχικές αποκοπές δεκαδικής επέκτασης του x) έχει ένα πραγματικό όριο x.Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι δύσκολο να περιγραφεί ο x ανεξάρτητα από το ότι μια τέτοια περιορισμένη διαδικασία περιλαμβάνει ρητούς αριθμούς.
Γενικεύσεις των ακολουθιών Κωσύ σε πιο αφηρημένους ενιαίους χώρους υπάρχουν με τη μορφή των φίλτρων Κωσύ και δικτύων Κωσύ .