Πίνακας (μαθηματικά)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη[1] αριθμών, συμβόλων, ή εκφράσεων, διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες.[2][3] Τα μεμονωμένα στοιχεία σε ένα πίνακα ονομάζονται στοιχεία ή εγγραφές του. Ένα παράδειγμα πίνακα 2 γραμμών και 3 στηλών είναι:
Οι πίνακες ίδιων διαστάσεων μπορούν να προστεθούν ή αφαιρεθούν στοιχείο προς στοιχείο. Αλλά ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό πινάκων είναι ότι οι δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δευτέρου. Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων είναι να παριστάνουν γραμμικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή, γενικεύσεις των γραμμικών συναρτήσεων όπως f(x) = 4x. Για παράδειγμα, η περιστροφή διανυσμάτων σε έναν τριών διαστάσεων χώρο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα περιστροφής R. Αν v είναι ένα διάνυσμα στήλης (ένας πίνακας με μόνο μία στήλη) που περιγράφει τη θέση ενός σημείου στο χώρο, το γινόμενο Rv είναι μία στήλη διάνυσμα που περιγράφει τη θέση εκείνου του σημείου μετά από μία περιστροφή. Το γινόμενο δύο πινάκων είναι ένας πίνακας που αναπαριστά τη σύνθεση δύο γραμμικών μετασχηματισμών. Μια άλλη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Αν ο πίνακας είναι τετραγωνικός, είναι δυνατόν να συμπεράνουμε μερικές από τις ιδιότητές του υπολογίζοντας την ορίζουσα του. Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Οι ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα παρέχουν μια διορατικότητα στη γεωμετρία των γραμμικών μετασχηματισμών.
Εφαρμογές των πινάκων βρίσκονται σε πολλά επιστημονικά πεδία. Σε κάθε κλάδο της φυσικής, συμπεριλαμβανομένων της κλασικής μηχανικής, οπτικής, ηλεκτρομαγνητικής, κβαντομηχανικής, και κβαντικής ηλεκτροδυναμικής, που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των φυσικών φαινομένων, όπως την κίνηση των στερεών σωμάτων. Σε γραφικά υπολογιστών, χρησιμοποιούνται για το σχέδιο εικόνας τριών διαστάσεων σε δύο διαστάσεων οθόνη. Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, οι στοχαστικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σύνολα πιθανοτήτων; για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται μέσα στον αλγόριθμο PageRank ο οποίος ταξινομεί τις σελίδες στην αναζήτηση του Google.[4] Ο λογιστικός πίνακας γενικεύεται στις κλασικές αναλυτικές έννοιες όπως είναι οι παράγωγοι και τα εκθετικά σε υψηλότερες διαστάσεις.
Ένας σημαντικός κλάδος της πληροφορικής και της αριθμητικής ανάλυσης έχει ασχοληθεί με την ανάπτυξη και υλοποίηση αποδοτικών αλγορίθμων για υπολογισμούς σε πίνακες, δεδομένου των πολυπληθών εφαρμογών τους. Αυτές μπορεί να περιλαμβάνουν την χρήση μεθόδων αποσύνθεσης πίνακα για απλούστευση των πράξεων, την ανάπτυξη αλγορίθμων για συγκεκριμένα είδη πινάκων (όπως οι αραιοί ή οι σχεδόν διαγώνιοι πίνακες), την ελάττωση των συνολικών υποπράξεων (όπως ο αλγόριθμος Στράσσεν[5]) ή την ανάπτυξη ειδικού υλικού υπολογιστών (όπως οι κάρτες γραφικών). Στην θεωρία πολυπλοκότητας ένα άλυτο πρόβλημα είναι ο προσδιορισμός της βέλτιστης χρονικής πολυπλοκότητας για τον πολλαπλασιασμό πινάκων (το 2022, μεταξύ και πράξεων[6]), που συνεπάγεται αποτελέσματα για πολλά άλλα προβλήματα όπως η εύρεση συντομότερων μονοπατιών,[7] συντακτική ανάλυση.[8]
Οι άπειροι πίνακες απαντώνται στην πλανητική θεωρία και την ατομική θεωρία. Ένα απλό παράδειγμα ενός άπειρου πίνακα είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον παράγωγο φορέα, ο οποίος δρα στη Σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης.