Συναρτησιακή ανάλυση
From Wikipedia, the free encyclopedia
Η συναρτησιακή ανάλυση είναι ένας κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης, που ασχολείται κυρίως με τη μελέτη των διανυσματικών χώρων μαζί με κάποιο είδος ορίου που σχετίζεται με τη δομή (π.χ. εσωτερικό γινόμενο, νόρμα ή τοπολογία) και των γραμμικών τελεστών που ενεργούν σε αυτούς τους χώρους και με σεβασμό σε αυτές τις δομές με μία κατάλληλη έννοια. Οι ιστορικές ρίζες της συναρτησιακής ανάλυσης βρίσκονται στη μελέτη των συναρτησιακών χώρων και τη διατύπωση των ιδιοτήτων των συναρτησιακών μετασχηματισμών, όπως ο μετασχηματισμός Φουριέ, ως συνεχών μετασχηματισμών μεταξύ συναρτησιακών χώρων. Αυτή η άποψη αποδείχθηκε ιδιαίτερα χρήσιμη για την μελέτη των διαφορικών εξισώσεων και των ολοκληρωτικών εξισώσεων.
Η χρήση της λέξης συνάρτησιακή πηγαίνει πίσω στον λογισμό των μεταβολών, που αναφέρεται σε μία συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι επίσης συνάρτηση. Το όνομα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Ανταμάρ το 1910 πάνω σε αυτό το θέμα. Ωστόσο, η γενική έννοια της συνάρτησης είχε προηγουμένως εισαχθεί το 1887 από τον Ιταλό μαθηματικό και φυσικό Βίτο Βολτέρρα.[1][2] Η μη γραμμική συναρτησιακή ανάλυση συνεχίστηκε από τους μαθητές του Ανταμάρ, συγκεκριμένα τους Fréchet και Lévy. Ο Ανταμάρ επίσης ίδρυσε τη σύγχρονη σχολή της γραμμικής συναρτησιακής ανάλυσης που αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Ρης και την ομάδα Πολωνών μαθηματικών του Στέφαν Μπάναχ.
Στα σύγχρονα εισαγωγικά κείμενα για τη συναρτησιακή ανάλυση, το θέμα θεωρείται ως η μελέτη των διανυσματικών χώρων εφοδιασμένο με μία τοπολογία, συγκεκριμένα τους άπειρο-διάστατους χώρους.[3][4] Αντίθετα, η γραμμική άλγεβρα ασχολείται κυρίως με πεπερασμένων διαστάσεων χώρους, και δεν χρησιμοποιεί τοπολογία. Ένα σημαντικό μέρος της συναρτησιακής ανάλυσης είναι η επέκταση της θεωρίας θεωρίας, ολοκλήρωσης, και πιθανοτήτων σε άπειρο-διάστατους χώρους, επίσης γνωστή ως άπειρο-διαστατική ανάλυση.