Θεωρία μέτρου
From Wikipedia, the free encyclopedia
Η θεωρία μέτρου στα μαθηματικά περιλαμβάνει την αυστηρή αξιωματική θεμελίωση και επίσης τη γενίκευση των εννοιών του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Οι εφαρμογές επεκτείνονται και σε άλλες, πέρα από τις γεωμετρικές, έννοιες του μέτρου. Σε απλουστευμένη αλλά αδόκιμη ορολογία, για δεδομένο σύνολο ονομάζουμε "μέτρο" οποιαδήποτε διαδικασία ή κανόνα αποδίδει ένα "μέγεθος" σε κάθε ένα υποσύνολο του κατά συνεπή (δηλ. χωρίς αντιφάσεις) τρόπο.
Ο ακριβής μαθηματικός ορισμός του όρου "μέτρο" μοιάζει δυσνόητος (προϋποθέτοντας έννοιες όπως δ-δακτύλιος και σ-άλγεβρα) αλλά είναι εξαιρετικά σημαντικός για τη θεμελίωση, μεταξύ άλλων, βασικών εννοιών της ανάλυσης και του απειροστικού λογισμού. Σημαντικά παραδείγματα είναι το μέτρο Ζορντάν, το μέτρο Λεμπέσγκ, το μέτρο πιθανότητας και άλλα.[1]
Ο χώρος μέτρου (measure space) δεν θα πρέπει να συγχέεται με το μετρικό χώρο (metric space). Οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές. Για παράδειγμα στον ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων το μέτρο Λεμπέσγκ ορίζει το χώρο μέτρου κατά τον οποίο αποδίδεται όγκος στα υποσύνολα του , ενώ η ευκλείδεια μετρική ορίζει το μετρικό χώρο που μετράει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του .