Δακτύλιος (άλγεβρα)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην αφηρημένη άλγεβρα, δακτύλιος είναι μια αλγεβρική δομή που αφαιρεί και γενικεύει τις βασικές αριθμητικές πράξεις, και συγκεκριμένα τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Οι δακτύλιοι μελετώνται κυρίως στον κλάδο των μαθηματικών, γνωστό ως άλγεβρα, αλλά χρησιμοποιούνται σε περισσότερους τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της γεωμετρίας και της μαθηματικής ανάλυσης. Επιτρέπουν στους μαθηματικούς να εφαρμόσουν τις θεωρίες της στοιχειώδους άλγεβρας σε μη-αριθμητικά αντικείμενα όπως πολυώνυμα, σειρές και συναρτήσεις. Ο επίσημος ορισμός των δακτυλίων είναι σχετικά πρόσφατος (τέλη 19ου αιώνα), και είναι ένα παράδειγμα της τάσης των σύγχρονων μαθηματικών για την εισαγωγή, τη μελέτη, και τη διαχείριση των αφηρημένων δομών.
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Ο Δακτύλιος είναι αλγεβρική δομή , η οποία αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς πράξεις και (οι οποίες αποκαλούνται συχνά πρόσθεση και πολλαπλασιασμός αντίστοιχα), ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα:
- Η δομή είναι αβελιανή ομάδα:
- για κάθε (προσεταιριστικότητα).
- Υπάρχει ένα στοιχείο ώστε για κάθε (ύπαρξη προσθετικού ουδέτερου στοιχείου).
- Για κάθε στοιχείο υπάρχει ένα στοιχείο ώστε (ύπαρξη αντιθέτου στοιχείου).
- για κάθε (μεταθετικότητα).
- Η δομη είναι μονοειδές:
- για κάθε (προσεταιριστικότητα).
- Υπάρχει ένα στοιχείο ώστε για κάθε (ύπαρξη πολλαπλασιαστικού ουδέτερου στοιχείου).
- Ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση:
- για κάθε (αριστερός επιμεριστικός νόμος).
- για κάθε (δεξιός επιμεριστικός νόμος).
Το πολλαπλασιαστικό ουδέτερο στοιχείο συνήθως ονομάζεται μονάδα. Συνήθως το γινόμενο δυο στοιχείων το συμβολίζουμε με αντί του για λόγους συντομίας. Πρέπει να τονιστεί ότι οι δύο πράξεις και που περιγράφονται εδώ μπορούν να είναι οποιεσδήποτε δύο πράξεις που ικανοποιούν τις συνθήκες που αναφέρονται πιο πάνω, όχι αναγκαστικά η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Έχει επικρατήσει να ονομάζονται "πρόσθεση" και "πολλαπλασιασμός" οι δύο αυτές πράξεις των δακτυλίων για λόγους απλότητας.