Αλγεβρική δομή
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, μια αλγεβρική δομή αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο Α (που ονομάζεται υποκείμενο σύνολο, σύνολο-φορέας ή πεδίο), μια συλλογή πράξεων επί του Α (συνήθως δυαδικές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός) και ένα πεπερασμένο σύνολο ταυτοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα, τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι πράξεις αυτές.
Μια αλγεβρική δομή μπορεί να βασίζεται σε άλλες αλγεβρικές δομές με πράξεις και αξιώματα που περιλαμβάνουν διάφορες δομές. Για παράδειγμα, ένας διανυσματικός χώρος περιλαμβάνει μια δεύτερη δομή που ονομάζεται πεδίο και μια πράξη που ονομάζεται κλιμακωτός πολλαπλασιασμός μεταξύ στοιχείων του πεδίου (που ονομάζονται κλιμάκια) και στοιχείων του διανυσματικού χώρου (που ονομάζονται διανύσματα).[1]
Αφηρημένη άλγεβρα είναι το όνομα που συνήθως δίνεται στη μελέτη των αλγεβρικών δομών. Η γενική θεωρία των αλγεβρικών δομών επισημοποιήθηκε στην Καθολική Άλγεβρα. Η θεωρία κατηγοριών είναι μια άλλη τυποποίηση που περιλαμβάνει επίσης άλλες μαθηματικές δομές και συναρτήσεις μεταξύ δομών του ίδιου τύπου (ομομορφισμοί).
Στην καθολική άλγεβρα, μια αλγεβρική δομή ονομάζεται άλγεβρα [2]- ο όρος αυτός μπορεί να είναι διφορούμενος, διότι, σε άλλα πλαίσια, μια άλγεβρα είναι μια αλγεβρική δομή που είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα πεδίο ή ένα Πρότυπο πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο.
Η συλλογή όλων των δομών ενός συγκεκριμένου τύπου (ίδιες πράξεις και ίδιοι νόμοι) ονομάζεται ποικιλία στην καθολική άλγεβρα- ο όρος αυτός χρησιμοποιείται επίσης με εντελώς διαφορετική σημασία στην αλγεβρική γεωμετρία, ως συντομογραφία της αλγεβρικής ποικιλίας. Στη θεωρία κατηγοριών, η συλλογή όλων των δομών ενός συγκεκριμένου τύπου και οι ομομορφισμοί μεταξύ τους αποτελούν μια συγκεκριμένη κατηγορία.