Εικασία γεωμετρικοποίησης του Θέρστον
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, η εικασία της γεωμετρικοποίησης του Θέρστον δηλώνει ότι κάθε ένας από ορισμένους τρισδιάστατους τοπολογικούς χώρους έχει μια μοναδική γεωμετρική δομή που μπορεί να συσχετιστεί με αυτόν. Πρόκειται για ένα ανάλογο του θεωρήματος ομογενοποίησης για δισδιάστατες επιφάνειες, το οποίο δηλώνει ότι σε κάθε απλά συνδεδεμένη επιφάνεια Ρίμαν μπορεί να αποδοθεί μία από τις τρεις γεωμετρίες (ευκλείδεια, σφαιρική ή υπερβολική). Στις τρεις διαστάσεις, δεν είναι πάντα δυνατό να αποδοθεί μια μοναδική γεωμετρία σε έναν ολόκληρο τοπολογικό χώρο. Η εικασία της γεωμετρικοποίησης δηλώνει ότι κάθε κλειστό 3-μεσοδιάστημα μπορεί να αναλυθεί κανονικά σε κομμάτια που το καθένα έχει έναν από τους οκτώ τύπους γεωμετρικής δομής. Η εικασία αυτή προτάθηκε από τον Γουίλιαμ Θέρστον (1982) και περιλαμβάνει διάφορες άλλες εικασίες, όπως η εικασία του Πουανκαρέ και η εικασία της ελλειψοποίησης του Θέρστον.[1]
Το θεώρημα υπερβολισμού του Θέρστον συνεπάγεται ότι οι πολλαπλές Χάκεν ικανοποιούν την εικασία της γεωμετρικοποίησης. Ο Θέρστον ανακοίνωσε μια απόδειξη στη δεκαετία του 1980 και, έκτοτε, έχουν δημοσιευθεί αρκετές πλήρεις αποδείξεις.
Ο Γκρίγκορι Πέρελμαν ανακοίνωσε μια απόδειξη της πλήρους εικασίας γεωμετρικοποίησης το 2003 χρησιμοποιώντας τη ροή Ricci με χειρουργική μέθοδο σε δύο έγγραφα που δημοσιεύτηκαν στον διακομιστή προδημοσίευσης arxiv.org. Τα έγγραφα του Περελμάν έχουν μελετηθεί από διάφορες ανεξάρτητες ομάδες που έχουν δημιουργήσει βιβλία και διαδικτυακά χειρόγραφα που περιγράφουν λεπτομερώς όλα τα επιχειρήματά του. Η επαλήθευση είχε σχεδόν ολοκληρωθεί εγκαίρως ώστε ο Περελμάν να λάβει το μετάλλιο Φιλντς του 2006 για το έργο του και, το 2010, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay του απένειμε το βραβείο του ύψους 1 εκατομμυρίου δολαρίων για την επίλυση της εικασίας Πουανκαρέ, αν και ο Περελμάν αρνήθηκε να δεχτεί οποιοδήποτε από τα δύο βραβεία.
Η εικασία Πουανκαρέ και η εικασία της σφαιρικής μορφής του χώρου είναι επακόλουθα της εικασίας της γεωμετρίας, αν και υπάρχουν συντομότερες αποδείξεις της πρώτης που δεν οδηγούν στην εικασία της γεωμετρίας.