Τανυστής
From Wikipedia, the free encyclopedia
Oι τανυστές (αγγλ.: tensors) είναι γεωμετρικά αντικείμενα που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένα διανύσματα. Περιγράφουν γραμμικές σχέσεις ανάμεσα σε διανύσματα, βαθμωτά μεγέθη και άλλους τανυστές. Βασικά παραδείγματα τέτοιων σχέσεων περιλαμβάνουν το εσωτερικό γινόμενο, το εξωτερικό γινόμενο και γραμμικούς μετασχηματισμούς. Τα διανύσματα και τα βαθμωτά μεγέθη είναι επίσης τανυστές.
Οι τανυστές χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν αντιστοιχίες ανάμεσα σε σύνολα γεωμετρικών διανυσμάτων. Για παράδειγμα, ο τανυστής τάσεων Κωσύ T παίρνει τη διέυθυνση v σαν εισερχόμενα δεδομένα (input) και παράγει τις τάσεις T(v) στην επιφάνεια κάθετα σε αυτό το διάνυσμα σαν εξερχόμενα δεδομένα (output), εκφράζοντας έτσι τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο διανυσμάτων, όπως φαίνεται και στο σχήμα (δεξιά).
Ένας τανυστής μπορεί να απεικονιστεί σαν μία πολυδιάστατη διάταξη αριθμητικών τιμών. Η τάξη (ή βαθμός) ενός τανυστή είναι η διαστατικότητα της διάταξης που χρειάζεται για να τον απεικονίσει ή ισοδύναμα, ο αριθμός των δεικτών που χρειάζονται για να ονοματιστεί και να διαχωριστεί ένα στοιχείο αυτής της διάταξης. Για παράδειγμα, ένας γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να απεικονιστεί από ένα μητρώο (πίνακα), μία δισδιάστατη διάταξη και επομένως είναι τανυστής 2ης τάξης. Ένα διάνυσμα μπορεί να απεικονιστεί σαν μία μονοδιάστατη διάταξη (μητρώο μίας στήλης) και είναι τανυστής 1ης τάξης. Τα βαθμωτά μεγέθη είναι απλοί αριθμοί και συνεπώς τανυστές μηδενικής τάξης.
Επειδή εκφράζουν σχέση μεταξύ διανυσμάτων, οι ίδιοι οι τανυστές πρέπει να είναι ανεξάρτητοι της επιλογής ενός συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. Παίρνοντας ένα συστήμα συντεταγμένων αναφοράς και εφαρμόζοντας σε αυτό τον τανυστή, προκύπτει μία οργανωμένη πολυδιάστατη διάταξη που απεικονίζει τον τανυστή σε αυτό το σύστημα αναφοράς. Η ανεξαρτησία συστήματος συντεταγμένων ενός τανυστή παίρνει τότε τη μορφή ενός νόμου συναλλοίωτου μετασχηματισμού, που συσχετίζει τη διάταξη που υπολογίζεται στο ένα σύστημα με αυτήν που υπολογίζεται σε κάποιο άλλο. Αυτός ο μετασχηματισμός θωρείται ότι δημιουργείται μέσα στην ιδέα του τανυστή σε ένα γεωμετρικό ή φυσικό χώρο και η ακριβής μορφή του μετασχηματισμού προσδιορίζει τον τύπο (ή σθένος) του τανυστή.
Οι τανυστές είναι σημαντικοί στη φυσική επειδή παρέχουν ένα συνοπτικό μαθηματικό πλαίσιο για το σχηματισμό και την επίλυση φυσικών προβλημάτων, σε περιοχές όπως ελαστικότητα, ρευστομηχανική και γενική σχετικότητα. Οι τανυστές εισήχθηκαν για πρώτη φορά από τον Τούλιο Λέβι-Τσιβίτα και τον Γκρεγκόριο Ρίτσι-Κουρμπάστρο, οι οποίοι συνέχισαν το προγενέστερο έργο του Μπέρναρντ Ρίμαν και του Έλβιν Μπρούνο Κριστόφελ και υπολοίπων, σαν μέρος του απόλυτου διαφορικού λογισμού. Η σύλληψή τους επέτρεψε μια εναλλακτική διαμόρφωση της διαφορικής γεωμετρίας με φυσικές συντεταγμένες σαν πολλαπλότητα στη μορφή του τανυστή καμπυλότητας Ρίμαν.[1]