Teoría de cuerpos
De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
La teoría de cuerpos o teoría de campos es una rama de la matemática que estudia las propiedades de los cuerpos. Un cuerpo es una entidad matemática para la cual la adición, sustracción, multiplicación y división están bien definidas.
Los campos más conocidos son el campo de los números racionales, el campo de los números reales y el campo de los números complejos. Muchos otros campos, como campos de funciones racionales, campo de funciones algebraicas, Cuerpo de números algebraicos, y p-ádicos son comúnmente usados y estudiados en matemáticas, particularmente en teoría de números y geometría algebraica. La mayoría de los protocolos criptográficos se basan en campos finitos, es decir, campos con un número finito de elementos.
La relación entre dos campos se expresa mediante la noción de extensión de cuerpos. La teoría de Galois, iniciada por Évariste Galois en la década de 1830, se dedica a comprender las simetrías de las extensiones de campo. Entre otros resultados, esta teoría muestra que la trisección de ángulos y la cuadratura del círculo no pueden realizarse con regla y compás. Además, demuestra que las ecuaciones quínticas son, en general, irresolubles algebraicamente.
Los campos sirven como nociones fundamentales en varios campos matemáticos. Esto incluye diferentes ramas del análisis matemático, que se basan en campos con estructura adicional. Los teor| emas básicos del análisis dependen de las propiedades estructurales del campo de los números reales. Más importante para los propósitos algebraicos, cualquier campo se puede utilizar como escalares para un espacio vectorial, que es el contexto general estándar para el álgebra lineal. Los campos de números, hermanos del campo de los números racionales, se estudian en profundidad en teoría de números. Campos de funciones pueden ayudar a describir propiedades de objetos geométricos.