Keskeinen raja-arvolause
From Wikipedia, the free encyclopedia
Keskeinen raja-arvolause on todennäköisyyslaskennan tulos, jonka mukaan keskiarvo riittävän suuresta määrästä toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia, joista kullakin on hyvin määritelty odotusarvo ja varianssi, on tietyin edellytyksin likipitäen normaalisti jakautunut riippumatta kunkin satunnaismuuttujan omasta jakaumasta.[1][2]
Lausetta voi havainnollistaa muodostamalla suuren määrän havaintoja käsittävä otos, jossa kukin havainto on generoitu satunnaisesti muista havaintokerroista riippumatta. Tämän jälkeen lasketaan otoksen eli havaintojen keskiarvo. Jos tämä toistetaan monta kertaa, keskeisen raja-arvolauseen mukaan niiden keskiarvo jakautuu todennäköisesti sitä tarkemmin normaalijakauman eli niin sanotun kellokäyrän mukaisesti. Esimerkiksi jos kolikkoa heitetään erittäin monta kertaa, todennäköisyys saada kruuna tietyllä määrällä kertoja noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on puolet heittojen lukumäärästä.
Keskeisestä raja-arvolauseesta on monia muunnelmia. Sen kauimmin tunnettu muoto edellyttää, että satunnaismuuttujat, joiden keskiarvoa tarkastellaan, ovat samoin jakautuneet. Satunnaismuuttujien keskiarvo kuitenkin suppenee kohti normaalijakaumaa tietyin edellytyksin useissa sellaisissakin tapauksissa, joissa ne eivät ole samoin jakautuneet eivätkä edes toisistaan riippumattomat.
Yleisimmässä mielessä keskeiset raja-arvolauseet ovat koko joukko todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseita. Ne kaikki ilmaisevat eri tavoin, että monen riippumattoman ja identtisesti jakautuneen tai tietyin edellytyksin myös tavalla tai toisella toisistaan riippuvankin satunnaismuuttujan summalla on taipumus noudattaa jakaumaa, joka kuuluu pieneen joukkoon attraktorijakaumaa. Kun riippumattomien ja identtisten jakautuneiden satunnaismuuttujien varianssi on äärellinen, tämä attraktorijakauma on normaalijakauma. Sitä vastoin jos muodostetaan sellaisten satunnaismuuttujien summa, joilla on potenssilain mukainen, funktion |x|-α-1 mukaisesti (0 < α < 2) pienenevä "häntä" ja joiden varianssi näin ollen on ääretön, se suppenee kohti alfa-vakaata jakaumaa, jonka vakausparametri muuttujien lukumäärän kasvaessa on α[3]
Tilastotieteessä keskeisellä raja-arvolauseella on perustava merkitys käsiteltäessä suuria otoksia jostakin aineistosta. Sen sijaan pieniä otoksia käsiteltäessä se ei ole yhtä käyttökelpoinen.[4]