Inégalité de Kantorovitch
inégalité en algèbre linéaire / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
En mathématiques, l'inégalité de Kantorovitch est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elle-même généralisation de l'inégalité triangulaire.
Elle a été découverte en 1948 par le mathématicien et économiste soviétique Leonid Kantorovitch[1], lauréat du « prix Nobel d'économie » et pionnier de la programmation linéaire.
L'inégalité triangulaire dit que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle est supérieure ou égale à la longueur du troisième côté. L'inégalité de Kantorovitch donne un résultat équivalent avec les termes et notations de la programmation linéaire.
Inégalité de Kantorovitch (version scalaire) — Soit pour i = 1,...,n.
Soient Alors
Inégalité de Kantorovitch (version matricielle) — Soit , une matrice symétrique définie positive. Soit , respectivement la valeur propre la plus petite et la plus grande de A.
Alors, pour tout vecteur :
On supposera, sans perte de généralité, que la norme de x vaut 1.
Sachant que , il existe une matrice orthogonale telle que est diagonale :
avec
- , où les sont les valeurs propres de A.
On pose . Les valeurs propres de la matrice 1⁄tA + t A−1 sont donc de la forme :
- .
On étudie la fonction :\lambda \mapsto {\frac {\lambda }{t}}+{\frac {t}{\lambda }}} :
- Elle est convexe sur ;
- Elle atteint son minimum en λ=t, où elle vaut 2 ;
- .
Ainsi, on a :
- .
Par l'inégalité arithmético-géométrique, on a :
ce qui permet de conclure.
L'inégalité de Kantorovitch est utilisée en analyse de convergence ; elle permet notamment de majorer la vitesse de convergence de la méthode de descente de Cauchy.
Des équivalents de l'inégalité de Kantorovitch existent dans différents domaines. On citera l'inégalité de Wielandt et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elles-mêmes équivalentes à l'inégalité de Hölder.