קבוצת קנטור
מרחב טופולוגי וקבוצה אינסופית של מספרים ממשיים שמהווה פרקטל / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה של מספרים, שמקיימת את התנאי הבא: מתחילים מקטע ישר; מסירים מהקטע את השליש המרכזי שלו, ומקבלים שני קטעים קטנים יותר; על כל אחד מהם, מבצעים את אותה פעולה (הסרת השליש האמצעי); מבצעים את אותה פעולה על ארבעת הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד אינסוף. קבוצת קנטור היא קבוצת המספרים שלא יוסרו באף אחד משלבי הבניה.
בערך זה |
קבוצה זו התגלתה בשנת 1874 בידי המתמטיקאי הנרי ג'ון סמית[1] ותוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883.[2] חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומדגימות את מורכבותו של האינסוף. תופעות כגון אלה עודדו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות.
קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות איברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו (ובפרט, יש בשתיהן כל-כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם בסדרה, כלומר לא ניתן לצמצמה למספרים טבעיים).
מבחינה טופולוגית, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא המרחב המטרי הקומפקטי המושלם היחיד (עד כדי הומיאומורפיזם) שהוא לא קשיר לחלוטין. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה רציפה שלה.