כופלי לגראנז'
שיטה מתמטית לפתרון בעיות אופטימיזציה עם אילוצים / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, כופלי לגראנז' הם משתנים מלאכותיים המוספים לפונקציה ממשית בת כמה משתנים, על-מנת למצוא נקודות קיצון מקומיות של הפונקציה בכפוף לאילוצים. משתנים אלה קרויים על-שמו של המתמטיקאי האיטלקי ז'וזף לואי לגראנז', ונעשה בהם שימוש נרחב במתמטיקה, בפיזיקה (בפרט במכניקה אנליטית) ובחקר ביצועים לפתרון בעיות תכנון לא-ליניארי.
השיטה הבסיסית למציאת נקודות קיצון של פונקציה גזירה בעלת כמה משתנים, בתחום פתוח, היא להשוות את הנגזרות החלקיות לאפס. אכן, על פי משפט פרמה, הנגזרות החלקיות מתאפסות בכל נקודת קיצון של פונקציה גזירה בתחום פתוח. בתחום שאינו פתוח, עשויות להיות נקודות קיצון גם על השפה. אילוצים על המשתנים, הנתונים בצורת משוואה כגון , הופכים את התחום לקבוצה סגורה, שכולה שפה, ובכך מונעים את השימוש הישיר בשיטת הנגזרות החלקיות. שימוש בכופלי לגראנז' הופך בעיה עם אילוצים לבעיה בלי אילוצים, ובכך מאפשר להשתמש בהשוואת הנגזרות לאפס.
ניתן לתת אינטואיציה גרפית לשיטה בכך שבנקודות מקסימום של הפונקציה בכפוף לאילוץ, כיוון הנגזרת הכללי יהיה באותו כיוון של הנגזרת של האילוץ, ולכן הן יהיו שוות אחת לשנייה עד כדי מכפלה בסקלר.