For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for קבוצת בורל.

קבוצת בורל

קבוצת בורל היא קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה של בורל של מרחב טופולוגי נתון. סיגמא-אלגברה זו נוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות שבמרחב. לעיתים מגדירים סיגמא-אלגברה זו להיות נוצרת על ידי הקבוצות הקומפקטיות. באופן כללי זו אינה הגדרה שקולה, אבל במרחב מטרי ספרבילי שהוא קומפקטי מקומי שתי ההגדרות מזדהות.

בישר הממשי

הדוגמה המפורסמת ביותר היא הסיגמא-אלגברה של הישר הממשי, הנוצרת על ידי הקטעים הפתוחים.

  • כל קבוצה פתוחה היא קבוצת בורל.
  • כל קבוצה סגורה היא קבוצת בורל (סגירות תחת משלים).
  • כל קטע (פתוח או סגור; חצי פתוח; סופי או לא) הוא קבוצת בורל.
  • כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות (קבוצה ) הוא קבוצת בורל.
  • כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות (קבוצה ) הוא קבוצת בורל.
  • כל איחוד או חיתוך בן-מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצת בורל.

ניתן להגדיר את סיגמא-אלגברת בורל בישר הממשי באופן קונסטרוקטיבי באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית. מגדירים את כקבוצת כל הקבוצות שהן פתוחות או סגורות. לכל סודר עוקב מגדירים את כקבוצת כל האיחודים בני המנייה של איברי , או משלימים של איחודים כאלה. לכל סודר גבולי מגדירים . אלגברת בורל היא הקבוצה , כאשר הוא הסודר הקטן ביותר שאינו בן מנייה.[1]

כל קבוצת בורל היא קבוצה מדידה לפי מידת לבג (משמע אפשר להתאים לה "אורך"). מידת לבג כשהיא מצומצמת לאלגברת בורל נקראת מידת בורל.

מהבנייה הקונסטרוקטיבית של קבוצות בורל נובע שיש (עוצמת הרצף) קבוצות בורל. הרבה פחות מאשר הקבוצות המדידות לבג, הכוללות את קבוצות בורל, ומהן יש .

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
קבוצת בורל
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on