עקרון קאוואליירי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בגאומטריה, עקרון קאוואליירי מספק דרך להראות כי לשני גופים גאומטריים יש אותו השטח או הנפח. ביתר פירוט העיקרון קובע כי:
- במישור הדו־ממדי – נניח כי שתי צורות מצויות בין שני ישרים מקבילים.
- במרחב התלת־ממדי – נניח כי שני גופים מצויים בין שני מישורים מקבילים.
- אם כל מישור המקביל לשני מישורים אלה חותך את שני הגופים בחתכים מישוריים בעלי שטח זהה, אזי שני הגופים בעלי נפח זהה.
העיקרון נקרא על שם המתמטיקאי האיטלקי בונאוונטורה קאוואליירי שהציג אותו ב־1635 והשתמש בו למציאת שטחיהם ונפחיהם של גופים רבים. עם זאת המתמטיקאי הסיני דְזוּ גֶנְג עשה בו שימוש עוד במאה ה-5 למציאת הנוסחה לנפח כדור.
קאוואליירי קבע את נכונות העיקרון בהסתמך על ראיית החתכים כגופים בעלי עובי אינפיניטסימלי שסכום שטחיהם או נפחיהם שווה לשטח או נפח הגוף כולו. הבחנה זו נחשבת לצעד חשוב בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי בדרך לאינטגרציה. מכיוון שהחשבון האינפיניטסימלי טרם פותח באותה העת, ובהיעדר הגדרה פורמלית לשטח ונפח, הוכחה ריגורוזית של העיקרון לא הייתה בגדר האפשר בתקופתו של קאוואליירי. באנליזה מתמטית מודרנית עקרון קאוואליירי מתקבל כמסקנה של משפט פוביני.
רעיונותיו של קאוואליירי על חתכים אינפיניטסימליים הובילו אותו בין השאר לגילוי הנוסחה המוכרת לאינטגרציה של מונומים (פונקציות מהצורה ), הידועה כיום כנוסחת האינטגרציה קאוואליירי.