טור ההופכיים של המספרים הראשוניים
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
טור ההופכיים של המספרים הראשוניים הוא הסכום האינסופי של כל המספרים ההופכיים של מספרים ראשוניים. טור זה מתבדר לאינסוף. כלומר:
את ההתבדרות הוכיח המתמטיקאי לאונרד אוילר בשנת 1737. תוצאה זו מהווה הכללה למשפטו של אוקלידס כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים. התוצאה מראה שלא רק שיש אינסוף ראשוניים, במובן מסוים יש אף "הרבה" מהם. יש למשל "יותר" ראשוניים ממספרים ריבועיים, כי סכום ההופכיים של המספרים הריבועיים מתכנס לערך הסופי (ראו בעיית בזל). זאת על אף שבשני המקרים מדובר בקבוצות בנות מנייה אינסופיות (בעלות עוצמה זהה).
התבדרות הטור נחשבת מפתיעה. אמנם הטור ההרמוני מתבדר, אבל לעומת זאת הטור מתכנס לכל קבוע ממשי . מתברר שגם לבחירה של קרוב מאוד ל-1, סכום ההופכיים של כל הטבעיים בחזקת קטן יותר מסכום ההופכיים של הראשוניים בלבד.
טור ההופכיים של הראשוניים מתבדר לאט מאוד. סכום ההופכיים של כל הראשוניים הקטנים מ- אסימפטוטי ל-, כאשר הוא קבוע הנקרא קבוע מייזל-מרטנס, השווה בערך ל-0.261. כך, למשל, כדי להגיע לסכום העולה על המספר 10, יש לסכום בערך את כל ההופכיים של הראשוניים שקטנים מ-.
הערה: בערך זה יסמן תמיד מספר ראשוני.