טור טיילור
טור חזקות המשויך לפונקציה ושימושי במיוחד באנליזה / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
טור טיילור הוא טור חזקות המשויך לפונקציה חלקה ולנקודה כלשהי פנימית לתחום הגדרתה, שמקדמיו מחושבים על ידי ערכי הנגזרות של הפונקציה ב"נקודת הפיתוח" של הטור. לעיתים טור טיילור של הפונקציה מתכנס אליה בסביבה כלשהי של נקודת הפיתוח, ובמקרה זה הסכומים החלקיים של הטור, כלומר פולינומים, מקרבים את הפונקציה בסביבה זו. זוהי למעשה הכללה של הקירוב הליניארי (קירוב מסדר ראשון)
בערך זה |
שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב באופן מקורב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פולינומים, כלומר באמצעות פעולות חיבור וכפל בין מספרים ממשיים. לעיתים ניתן גם לחשב באופן מקורב את הנגזרת והאינטגרל של פונקציות אלה באמצעות חישוב הנגזרות והאינטגרלים של הפולינומים בטור.
תורה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן. שאיפתם הייתה למצוא קירוב באמצעות פולינומים לפונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס. כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח. את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר. הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור. טור טיילור המפותח בנקודה נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).
טור טיילור (המפותח בנקודה מסוימת ) מתכנס לפונקציה בסביבה מסוימת של אם ורק אם סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל. במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא אנליטית בנקודה .