טור לורן
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים
ערך מחפש מקורות | |
במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא טור מהצורה . כלומר, זהו טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.
טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות. כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).
באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי (רגולרית או סינגולרית). אם הטור מפותח סביב הנקודה אז צורתו תהיה . הטור מתכנס בטבעת , כאשר רדיוס ההתכנסות הפנימי ורדיוס ההתכנסות החיצוני נתונים ע"י:
נציין כי יכול להיות אינסוף (כאשר ).
כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:
- אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) - הנקודה היא רגולרית או סינגולרית סליקה.
- אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, כשהשלילית ביותר היא , הנקודה היא קוטב מסדר .
- אם יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי הוא 0, הנקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית (ראו דוגמה 3 להלן). הערה: כאשר יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי גדול מ-0, הפונקציה עשויה אף להיות רגולרית ב-c (כמו שניתן לראות בדוגמה 1 להלן).
החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.