משפט הסיבובים של אוילר
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בגאומטריה, משפט הסיבובים של אוילר קובע שבמרחב תלת-ממדי, כל שינוי אוריינטציה של גוף קשיח שיש לו נקודת שבת (נקודה הנותרת קבועה במקומה), שקול לסיבוב יחיד מסביב לציר מסוים שעובר דרך נקודת השבת. פירוש הדבר הוא גם שכל הרכבה של שני סיבובים היא גם סיבוב, כאשר "סיבוב" מוגדר כאיזומטריה עם נקודת שבת בראשית הצירים. המשפט מראה לפיכך שכל האיברים בחבורת הסיבובים התלת-ממדית הם סיבובים.
המשפט קרוי על שמו של לאונרד אוילר, אשר הוכיח אותו ב-1775 בשיטות של גאומטריה כדורית. ציר הסיבוב השקול נקרא ציר אוילר, והוא מיוצג בדרך כלל על ידי וקטור היחידה ê. ההרחבה של המשפט הזה לקינמטיקה מולידה את המושג של ציר סיבוב רגעי; ישר של נקודות שבת. משפט זה של אוילר הוא משפט נקודת השבת הראשון שנתגלה[1].
משפט זה נכון רק בכל מרחב מממד אי-זוגי, אבל לא בממדים זוגיים. בממד זוגי, כמו למשל במקרה של סיבוב במישור, הרכבה של שני סיבובים לא בהכרח מותירה כיוון קבוע מסוים. על כן, כיוון שהמשפט אינו כה מובן מאליו, עולה הצורך לספק לו הוכחה פורמלית וריגורוזית.
במונחים של אלגברה ליניארית, המשפט קובע, שבמרחב תלת-ממדי, כל שתי מערכות קואורדינטות קרטזיות בעלות ראשית משותפת מתקבלות זו מזו על ידי סיבוב מסביב לציר מקובע מסוים. פירוש הדבר הוא גם שמכפלת שתי מטריצות סיבוב היא גם מטריצת סיבוב, ושבעבור מטריצות סיבוב מתקיים שהערך העצמי הראשון שלהם הוא 1 ושהשניים האחרים הם מרוכבים וצמודים זה לזה[2]. הוקטור העצמי המתאים לערך העצמי 1 הוא ציר הסיבוב המקשר בין שתי מערכות הקואורדינטות.