משפטי ויירשטראס
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
שני המשפטים שהוכיח קארל ויירשטראס על פונקציות ממשיות הם מן המשפטים היסודיים בחשבון האינפיניטסימלי. המשפטים עוסקים בפונקציות רציפות המוגדרות בקטע סגור וחסום.
המשפט הראשון קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור, חסומה שם.
המשפט השני מוסיף וקובע כי הפונקציה מקבלת בקטע ערכי מינימום ומקסימום.
תכונות אלה לא מתקיימות בהכרח בפונקציות רציפות מעל קטעים שאינם סגורים. לדוגמה, הפונקציה רציפה בקטע , שאינו סגור, ואינה חסומה שם. באופן דומה, הפונקציה חסומה בקטע , אבל אינה מקבלת בו מינימום או מקסימום (לכל נקודה בקטע הפתוח יש נקודה שמאלית/ימנית ממנה בקטע ששם מתקבל ערך קטן/גדול יותר בהתאמה).
שני המשפטים חלים גם על פונקציות ממשיות של כמה משתנים: פונקציה רציפה המוגדרת על קבוצה סגורה וחסומה ב-, היא חסומה, וערכי המינימום והמקסימום שלה מתקבלים.
באופן כללי אף יותר, המשפטים נותנים את אחת התכונות היסודיות של פונקציות המוגדרות על קבוצות קומפקטיות: פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית היא חסומה, ומקבלת את ערך המקסימום שלה בתחום ההגדרה. כפי שיוסבר בהמשך, הסיבה העקרונית לשתי התכונות היא שתמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית.