Assioma di estensionalità
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Nella teoria degli insiemi, l'assioma di estensionalità, o assioma dell'estensione, è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma è scritto:
oppure a parole:
- Dato un generico insieme A e dato un generico insieme B, A è uguale a B se e solo se, dato un qualsiasi altro C, C è un elemento di A se e solo se C è un elemento di B.
(Non è necessario che C sia un insieme; ma in ZF tutti gli oggetti sono insiemi. Vedi nella teoria degli insiemi con ur-elementi più avanti per vedere quando questo è violato.)
Per comprendere questo assioma, si noti che la clausola fra parentesi nell'espressione simbolica riportata sopra semplicemente afferma che A e B hanno esattamente gli stessi elementi. Quindi, quello che l'assioma sta dicendo è che due insiemi sono uguali se e solo se hanno esattamente gli stessi elementi. Essenzialmente il senso è questo:
- L'insieme A è determinato unicamente (e univocamente) dai suoi elementi.
L'assioma dell'estensionalità può essere usato in ogni espressione della forma , dove P è un predicato unario che non fa menzione di A o B, per definire un unico insieme i cui elementi sono precisamente gli insiemi che soddisfano il predicato . Possiamo introdurre un nuovo simbolo per ; è in questo modo che in definitiva funzionano le definizioni nella matematica ordinaria, quando le loro affermazioni sono ridotte in forma puramente insiemistica.
L'assioma di estensionalità è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in praticamente tutte le assiomatizzazioni della teoria degli insiemi. Tuttavia può richiedere delle modifiche in alcuni casi, come si vede più avanti.
Fu Leibniz il primo ad utilizzare i termini di estensione e intensione nell'ambito della logica. Che si tratti di una proprietà o di una relazione n-aria (con n>1), l'estensione è l'insieme di individui che possiedono la caratteristica stabilita come intensione (di un concetto).