Prodotto tensoriale
concetto che generalizza la nozione di operatore bilineare / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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In matematica, il prodotto tensoriale, indicato con , è un concetto che generalizza la nozione di operatore bilineare e può essere applicato a molteplici oggetti matematici, ad esempio a spazi vettoriali e moduli.
Nel caso di due spazi vettoriali e sul campo , il prodotto tensoriale è ancora uno spazio vettoriale su . Si può pensare ad una applicazione bilineare
come ad un prodotto tra i vettori di e con valori in un terzo spazio vettoriale .
Dato un altro spazio ed un omomorfismo
si ha che è un prodotto su a valori in . Si può dimostrare che esiste un "prodotto universale" a valori in un certo spazio con la proprietà che tutti i possibili prodotti su si possono ottenere, in modo unico, trasformando linearmente il codominio . Se e sono rispettivamente elementi di e si denota con il prodotto di e in . Per dimostrarne l'esistenza lo si costruisce come spazio quoziente dello spazio vettoriale libero su imponendo le relazioni ovvie per far sì che la proiezione dopo l'immersione sia bilineare.
Prendendo spazi quozienti del prodotto tensoriale si possono aggiungere proprietà a . Ad esempio il prodotto universale simmetrico si ottiene imponendo la relazione
cioè prendendo il quoziente
dove è il sottospazio generato da tutti gli elementi del tipo . Il prodotto universale antisimmetrico invece si ha imponendo la relazione
Queste costruzioni sono fondamentali in svariati campi (ad esempio permettono di definire metriche e forme differenziali sugli spazi tangenti di varietà differenziabili).
Partendo con degli -moduli e (strutture che generalizzano gli spazi vettoriali prendendo gli scalari in un anello invece che in un campo), e supponendo commutativo per semplicità, si può dare la stessa definizione che per il caso degli spazi vettoriali di (anche in questo caso si può omettere il pedice a se è evidente dal contesto l'anello rispetto al quale si stanno considerando i moduli). Anche la dimostrazione dell'esistenza rimane la stessa. Nonostante le similitudini iniziali con il caso degli spazi vettoriali il prodotto tensoriale tra moduli può riservare delle sorprese. Ad esempio
se ed sono coprimi.