Teorema del punto fisso di Brouwer
teorema di punto fisso in topologia algebrica / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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In matematica, il teorema di Brouwer è un risultato nell'ambito della topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso. Questo risultato deve il nome a Luitzen Brouwer che ne dimostrò la formulazione generale nel 1910 insieme a Jacques Hadamard.
Il teorema può essere formulato in diversi modi a seconda del contesto in cui è utilizzato. Nella sua versione più semplice si può enunciare nel seguente modo:
- sia un disco chiuso nel piano euclideo, allora ogni funzione continua ammette almeno un punto fisso.[1]
L'estensione al caso di dimensione maggiore, si ottiene considerando una funzione continua da una palla chiusa nello spazio euclideo in sé stessa.[2]
Si può anche ottenere una versione più generale, che segue dalla precedente per il fatto che ogni sottoinsieme convesso e compatto di uno spazio euclideo è omeomorfo a una palla chiusa della stessa dimensione:[3] ogni funzione continua da un sottoinsieme convesso e compatto in sé ha almeno un punto fisso.[4]
Un'ulteriore generalizzazione è il teorema del punto fisso di Schauder: un operatore completamente continuo, definito da un sottoinsieme convesso, chiuso e limitato di uno spazio di Banach in sé stesso, ha almeno un punto fisso.[5] Questo risultato è poi esteso da altri teoremi, tra cui il teorema di Kakutani e il teorema di Tikhonov.