고른 테셀레이션
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기하학에서 고른 테셀레이션 또는 고른 타일링(영어: uniform tiling)은 평면에서 정다각형 면을 점추이가 되도록 하는 테셀레이션이다.
고른 테셀레이션은 유클리드 평면과 쌍곡면에 둘 다 존재할 수 있다. 고른 테셀레이션은 구에서의 고른 테셀레이션으로 생각할 수 있는 유한한 고른 다면체와 관련되어 있다.
대부분의 고른 테셀레이션은 대칭군과 기본 영역에 있는 단일 생성점으로 시작하는 위토프 생성으로 만들어진다. 평면대칭군은 다각형의 기본 영역을 가지고 순서가 있는 꼭짓점에 있는 거울의 순서로 나타나는 군의 이름으로 표현될 수 있다.
기본 영역 삼각형은 (p q r)이고, 직각삼각형은 (p q 2)이다. 이 때 p, q, r은 전부 1보다 큰 숫자이다. 삼각형은 p, q, r에 따라서 구면 삼각형처럼, 평면 삼각형처럼, 또는 쌍곡면 삼각형처럼 존재할 수 있다.
수정된 슐레플리 기호에서부터 직각삼각형 영역으로 가는 도형을 이름짓는 기호적 계획들은 상당히 많다: (p q 2) → {p, q}. 콕서터 다이어그램은 변에 p, q, r 이라고 이름 붙인 삼각형 그래프이다. r = 2일 때는, 2차 영역 노드는 반사를 만들지 않기 때문에, 이 그래프는 선형이다. 위토프 기호는 정수가 3개가 있고 수직선(|)으로 분리한다. 생성점이 거울의 영역 노드 반대편에 떨어져 있다면, 선 뒤에 주어진다.
결국 테셀레이션은 꼭짓점 주변의 다각형의 수열인 꼭짓점 배치를 통해서 설명할 수 있다.
모든 고른 테셀레이션은 정테셀레이션에 다양한 연산을 적용해서 만들 수 있다. 노만 존슨이 이름을 지은 이 연산들은 깎기(영어:truncation, 꼭짓점을 자르는 것), 절반 깎기 (영어:rectification, 모서리가 사라질 때까지 꼭짓점을 자르는 것), 그리고 부풀림(영어:Cantellation, 변을 깎는 것)이라고 불린다. 부풀려 깎기는 깎기와 부풀림을 결합한 연산이다. 다듬기는 부풀려 깎은 것을 교대깎기하는 연산이다. (자세한 것은 고른 다면체#위토프 구성 연산을 보라.)