집합
특정한 조건에 맞는 별개의 원소들의 모임 / From Wikipedia, the free encyclopedia
수학에서 집합(集合, 영어: set)은 어떤 명확한 조건을 만족시키는 서로 다른 대상들의 모임이다. 게오르크 칸토어의 설명에 따르면, 집합은 “하나로 간주한 여럿”이다. 임의의 대상이 집합에 속하는지 여부는 명확해야 하며, 집합 위에는 순서나 연산 따위의 구조가 주어지지 않는다. 집합은 현대 수학에서 가장 기본적인 개념이다. 집합론은 19세기 말에 개발되어 다른 수학 이론들에 비해 젊은 편이나, 거의 모든 수학 이론을 전개하는 토대로 삼을 수 있다.
소박한 집합론은 집합을 정의하는 조건에 제한을 가하지 않는다. 즉, 임의의 성질에 대하여 이 성질을 만족시키는 대상들의 집합이 존재한다고 가정한다. 이러한 가정은 모순을 일으키며, 모순을 유도하는 가장 쉬운 방법은 러셀의 역설이다. 오늘날 역설을 해결하는 다양한 집합론이 개발되어 있으며, 이 가운데 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론이 기본적으로 쓰인다. 이 집합론은 이미 알려진 모든 역설을 회피했지만, 그 밖의 모순이 존재할 가능성까지 배제한 것은 아니다. 또한, 이 이론의 무모순성을 증명하는 것은 무모순성 여부와 관계 없이 어떤 의미에서 불가능하다 (괴델의 불완전성 정리). 즉, 앙리 푸앵카레의 비판을 인용하면 “양 떼를 보호하기 위해 울타리를 쳤지만, 울타리 안에 늑대가 없으리라는 법은 없는 꼴”이다.
대개 집합은 대문자 로 표기하며, 원소는 소문자 로 표기한다. 가 의 원소임을 와 같이 표기하며, 가 의 원소가 아님을 와 같이 표기한다. 또한 '12보다 크고 7보다 작은 자연수들의 모임'같은 원소가 0개일 경우, φ으로 표기한다.