For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Isoperimetrisch quotiënt.

Isoperimetrisch quotiënt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de meetkunde is het isoperimetrisch quotiënt een maat voor de relatie tussen de omsloten oppervlakte en de omtrek van vlakken, en het ingesloten volume en de oppervlakte van ruimtelijke figuren, dus een maat voor de relatie tussen de 'buitenkant' en het 'binnenste' van een vorm. De maat is voor gelijkvormige figuren gelijk. Het gaat er bij het isoperimetrisch probleem om bij een gegeven omtrek of oppervlakte de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume te vinden. De cirkel is de vlakke, en de bol de het lichaam die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Het isoperimetrisch quotiënt is voor alle figuren dus kleiner dan of gelijk aan 1; dat wordt de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.

Het begrip isoperimeter is van het Grieks afgeleid en betekent gelijke omhullende afmetingen.

Definitie

Voor een vlakke figuur met oppervlakte en omtrek wordt het isoperimetrisch quotiënt gegeven door:

Voor een ruimtelijke figuur met inhoud en oppervlakte wordt het isoperimetrisch quotiënt gegeven door:

Eigenschappen

  • Isoperimetrische ongelijkheid: voor alle figuren en lichamen is .
  • Van gelijkvormige figuren is het isoperimetrisch quotiënt gelijk, aangezien de machten van de voor de afmetingen van het lichaam bepalende factor tegen elkaar wegvallen.
  • Voor de cirkel en de bol is .

Tabel

In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het isoperimetrisch quotiënt, oplopend geordend. De genoemde, afnemende oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.

afgeknotte icosaëder
afgeknotte icosaëder
stompe dodecaëder
stompe dodecaëder
bol
bol
Ruimtelijke figuur Oppervlakte bij een inhoud van 1000
viervlak 721 0,302
kegel met [1] 609 0,5[2]
kubus 600[2] 0,523
regelmatig achtvlak 572 0,605
cilinder 553 0,667
regelmatig twaalfvlak 531 0,755
regelmatig twintigvlak 515 0,829
afgeknotte icosaëder[3] 500[4] 0,903
stompe dodecaëder 492 0,947
bol 484 1[2]
  1. kegelvorm met het hoogste isoperimetrisch quotiënt
  2. a b c exact
  3. De afgeknotte icosaëder wordt veelvuldig in het leer of plastic uitgevoerd als voetbal. Waarom hiervoor niet een stompe dodecaëder wordt toegepast die meer de bol benadert, zal duidelijk zijn: een afgeknotte icosaëder bezit 32 vlakken en een stompe dodecaëder bestaat uit 92 vlakken, en is daardoor ingewikkelder.
  4. niet exact 500, met een extra decimaal wordt het 500,3

Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:

In onderstaande tabel staat de isoperimetrische ongelijkheid voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O. Voor de omtrek O in bijvoorbeeld cm wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm2.

vierkant
vierkant
zeventienhoek
zeventienhoek
cirkel
cirkel
Regelmatige veelhoek Omtrek bij een oppervlakte van 1000 IQ
driehoek 144 0,605
vierkant 127 0,785
vijfhoek 121 0,865
zeshoek 118 0,907
achthoek 115 0,948
tienhoek 114 0,967
twaalfhoek 113 0,977
zeventienhoek 112,75 0,988
vierentwintighoek 112,42 0,994
cirkel 112 1

Proclus, een Grieks neoplatonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende: "De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur." Dante Alighieri zei later over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura, De cirkel is het meest volmaakte figuur.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Isoperimetrisch quotiënt
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.